Propiedades de los conjuntos de Borel y de la medida de Lebesgue

Question

Dejemos que $A$ sea un conjunto, y que $B$ sea un conjunto de Borel tal que $B \subseteq A$ .

Porque $B$ es un conjunto de Borel, ¿puedo decir automáticamente que puedo representarlo como una unión contable de conjuntos cerrados? Así puedo demostrar que $m(A\setminus B)=0$ .

Alternativamente, deja que $C$ es un conjunto y $D$ es un conjunto de Borel tal que $C \subseteq D$ . Entonces, como $D$ es Borel podemos escribirlo como una intersección contable de conjuntos abiertos. Así que $m(D \setminus C)=0$ .

Estoy tratando de encontrar una relación entre los conjuntos de Borel y los teoremas de aproximación interior/exterior.

Answer 1

Lamentablemente, no podemos hacer nada tan sencillo. Las uniones (intersecciones) contables de conjuntos cerrados (abiertos) se llaman $F_\sigma$ $(G_\delta)$ conjuntos. Uniones contables (intersecciones) de $G_\delta$ $(F_\sigma)$ Los conjuntos se denominan $G_{\delta\sigma}$ $(F_{\sigma\delta})$ conjuntos. Del mismo modo, tenemos $G_{\delta\sigma\delta}$ y $F_{\sigma\delta\sigma}$ conjuntos, $G_{\delta\sigma\delta\sigma}$ y $F_{\sigma\delta\sigma\delta}$ conjuntos, etc. Todo de estos son conjuntos de Borel (junto con los conjuntos básicos abiertos y cerrados) -y de hecho comprenden la totalidad de la colección de conjuntos de Borel. Para una descripción más explícita de esta construcción transfinitamente recursiva de la jerarquía de Borel --en $\omega_1$ pasos, no contablemente muchos (¡Gracias, Trevor, por señalarlo!)--ver aquí .

Tomando $A$ para ser el conjunto superpuesto, $B'$ para ser cualquier subconjunto de Borel de $A$ de medida positiva, y $B=A\smallsetminus B'$ tenemos que $B$ es un conjunto de Borel y $A\smallsetminus B=B'$ y además $m(A\smallsetminus B)=m(B')>0$ . Por otro lado, toma $D$ sea cualquier conjunto de Borel de medida positiva, y sea $C=\emptyset$ para que $D\smallsetminus C=D$ y así $m(D\smallsetminus C)=m(D)>0$ .

Es es Cabe destacar que podemos aproximar cualquier medible establecido desde fuera (dentro) por algunos $G_\delta$ $(F_\sigma)$ conjunto, exactamente de la manera que has descrito. Sólo que no podemos hacerlo con cada $G_\delta$ $(F_\sigma)$ superconjunto (subconjunto). Además, no necesariamente podemos hacer esto para conjuntos arbitrarios, que pueden no ser medibles.