Demostrar que $\sqrt 2 + \sqrt 3$ es un número irracional

Question

He demostrado en los ejercicios anteriores de este libro que $\sqrt 2$ y $\sqrt 3$ son irracionales. Entonces, la suma de dos números irracionales es un número irracional. Así que, $\sqrt 2 + \sqrt 3$ es irracional. Mi primera pregunta es, ¿es correcto este razonamiento?

En segundo lugar, el libro me pide que utilice el hecho de que si $n$ es un entero que no es un cuadrado perfecto, entonces $\sqrt n$ es irracional. Esto significa que $\sqrt 6$ es irracional. ¿Cómo podemos utilizar este hecho? ¿Podemos razonar de la siguiente manera:

$\sqrt 6$ es irracional

$\Rightarrow \sqrt{2 \cdot 3}$ es irracional.

$\Rightarrow \sqrt 2 \cdot \sqrt 3$ es irracional

$\Rightarrow \sqrt 2$ o $\sqrt 3$ o ambos son irracionales.

$\Rightarrow \sqrt 2 + \sqrt 3$ es irracional.

¿Es correcta esta forma de razonar?

Answer 1

Si $\sqrt{2} + \sqrt{3}$ es racional, entonces también lo es $(\sqrt{2} + \sqrt{3})^2 = 5 + 2 \sqrt{6}$. Pero esto es absurdo ya que $\sqrt{6}$ es irracional.

Answer 2

Si $\sqrt 3+ \sqrt 2$ es racional/irracional, entonces también lo es $\sqrt 3 - \sqrt 2$ porque $\sqrt 3 + \sqrt 2 = \large \frac{1}{\sqrt 3 - \sqrt 2}$. Ahora asumamos que $\sqrt 3 + \sqrt 2$ es racional. Si sumamos $(\sqrt 3 + \sqrt 2) + (\sqrt 3 - \sqrt 2)$ obtenemos $2\sqrt 3$, lo cual es irracional. Pero la suma de dos racionales nunca puede ser irracional, porque para enteros $a, b, c, d$ $\large \frac{a}{b}+ \frac{c}{d} = \frac{ad+bc}{bd}$ que es racional. Por lo tanto, nuestra suposición de que $\sqrt 3 + \sqrt 2$ es racional es incorrecta, por lo tanto $\sqrt 3 + \sqrt 2$ es irracional.

Answer 3

Sugerencias:

Supongamos que existen coprimos $\,a,b\in\Bbb Z\,$ tal que

$$\sqrt2+\sqrt3=\frac ab\implies \sqrt6=\frac{a^2}{2b^2}-\frac52=\frac{a^2-5b^2}{2b^2}$$

Si ya sabes que $\,\sqrt6\,$ es irracional entonces ya has terminado, de lo contrario pruébalo como con $\,\sqrt2\,$, por ejemplo:

$$\sqrt6=\frac pq\;,\;\;(p,q)=1\implies 6q^2=p^2\implies 2\mid p$$

y así podemos escribir

$$\sqrt6=\frac{2p'}q\implies 2\mid q\;\;\;\;\text{también, y esto es una contradicción}$$

Answer 4

Si $\sqrt2+\sqrt3 =r \in \mathbb{Q}$, entonces $\frac{r^2-5}{2}=\sqrt6 \in \mathbb{Q}$. ¡Contradicción! Esta podría ser una forma de tu prueba.

Answer 5

Su razonamiento no es correcto cuando pasas de $\sqrt 2$ o $\sqrt 3$ o ambos son irracionales a que $\sqrt 2 + \sqrt 3$ es irracional.

Yo diría: supongamos que $\sqrt 2 + \sqrt 3$ es racional. Entonces su cuadrado es racional, porque multiplicar racionales da un racional. Pero $(\sqrt 2 + \sqrt 3)^2=2+2\sqrt 6 +3$ es irracional porque la suma de un irracional y un racional ($5$) es irracional, así que tenemos una contradicción.