La composición de dos funciones continuas es continua

Question

Hay muchas respuestas a esta pregunta en este sitio utilizando $\epsilon-\delta$ enfoque. Sin embargo, espero encontrar una solución a través de un método diferente. Mi libro de texto define la continuidad como: $f: D\rightarrow R$ es uniformemente continua si para dos secuencias ${u_n}$ y ${v_n}$ en $D$ tenemos que si $\lim\limits_{n \rightarrow \infty}(u_n-v_n) =0$ entonces $\lim\limits_{n \rightarrow \infty}(f(u_n)-f(v_n)) =0$ .

He intentado $\lim\limits_{n \rightarrow \infty}(fg(u_n)-fg(v_n)) = \lim\limits_{n \rightarrow \infty} fg(u_n)-\lim\limits_{n \rightarrow \infty}fg(v_n)=f[\lim\limits_{n \rightarrow \infty} g(u_n)]-f[\lim\limits_{n \rightarrow \infty}g(v_n)]$

pero no estoy seguro de dónde ir después de esto...

Answer 1

$$\eqalign{ & |f(g({u_n})) - f(g({v_n}))| = |f(g({u_n})) - f(g(v)) + f(g(v)) + f(g({v_n})) - f(g(u)) + f(g(u))| \cr & \leqslant |f(g({u_n})) - f(g(u))| + |f(g({v_n})) - f(g(v))| + |f(g(u)) - f(g(v))| \cr & \leqslant \varepsilon /2 + \varepsilon /2 + 0 \cr} $$

Answer 2

Dejemos que $x_n,p_n$ sea sq. s.t. tenemos $x_n -p_n \to 0 \ \Rightarrow g(x_n) - g(p_n) \to 0$ . Definir $y_n = g(x_n), \ z_n= g(p_n)$ entonces

$$ \lim_n f(y_n) - f(z_n) = \lim_n f(g(x_n)) - f(g(p_n)) = \\ f(\lim_n g(x_n)) - f(\lim_n g(p_n)) = 0 $$

así que $y_n - z_n \to 0 \ \Rightarrow f(y_n) - f(z_n) \to 0 \Rightarrow f(g(x_n)) - f(g(p_n)) \to 0.$