Probabilidad de sacar >18 al sacar 3 cartas

Question

Estoy tratando de calcular algunas probabilidades para un juego de cartas. Los jugadores tienen que robar 3 cartas cada vez y las cartas deben sumar un cierto valor para que puedan ganar - el valor cambia dependiendo de la etapa del juego.

¿Existe una fórmula que pueda utilizar para calcular las probabilidades de sacar determinados valores: 12, 18, etc.? Los jugadores roban sin reemplazo de una baraja estándar de 52 cartas, sin comodines. Los ases, los reyes, las reinas y las sotas no tienen un valor numérico, por lo que los jugadores están sacando cartas con valores del 2 al 10.

Answer 1

Existe un enfoque de función generadora, pero no parece tener una forma cerrada.

\begin{align*} G(x,y) &= \left((1+x)^4\prod_{i=2}^{10} (1+x\, y^i)\right)^4 \end{align*}

Si la suma debe ser $\ge 12$ necesitamos encontrar la suma de los coeficientes $[x^3 y^j]G(x,y)$ donde $30 \ge j \ge 12$ y dividir por $\binom{52}{3}$ para obtener la probabilidad.

$$\mathbb{P}(sum \ge 12) = \frac{12236}{\binom{52}{3}} \approx 0.55366515837$$

$$\mathbb{P}(sum \ge 18) = \frac{4580}{\binom{52}{3}} \approx 0.207239819005$$