Demostración de la oscilación de la función en un subconjunto del dominio

Question

Dejemos que $ \emptyset\ne A\subset \mathbb{R}^n$ y que $f:A\to \mathbb{R}$ sea una función acotada. Existe la siguiente definición:

Para cada subconjunto no vacío $B$ de $A$ la oscilación de $f$ en $B$ es el número osc $(f)_B:=\sup(f)_B - \inf(f)_B$ .

Quiero demostrar que osc $(f)=\sup\{|(f(x))-(f(y))|:x,y \in B\}.$

No estoy muy seguro de cómo hacer una prueba, pero aquí está mi intento.

$\sup_B(f)-\inf_B(f)=\sup_B(f)+\sup_B(-f)=\sup\{f(x):x\in B\}+\sup\{-f(y):y\in B\}$ $=\sup\{f(x)+(-f(y)):x,y\in B\}$ $=\sup\{|f(x)-f(y)|:x,y\in B\}$ (se puede aplicar el valor absoluto, ya que $\sup_B(f)\ge \inf_B(f)$ ).

¿Cree que esto es lo suficientemente correcto / riguroso?

Answer 1

La prueba me parece bien, salvo la última motivación "el valor absoluto puede aplicarse desde...". Tenga en cuenta que en general $$ \sup_{x,y}g(x,y)\ne\sup_{x,y}|g(x,y)| $$ incluso si el LHS es positivo. Por ejemplo, para $-2\le g(x,y)\le 1$ el LHS es $1$ pero la RHS es $|-2|=2$ .

Aquí obtenemos la igualdad debido a la simetría de signos de la expresión $$ \sup_{x,y}(f(x)-f(y))=\sup_{x,y}(f(y)-f(x))=\sup_{x,y}(-(f(x)-f(y))), $$ por lo que podemos terminar la prueba como $$ ...=\sup_{x,y}(f(x)-f(y))=\max\sup_{x,y}(\pm(f(x)-f(y)))=\sup_{x,y}\max(\pm(f(x)-f(y)))=\sup_{x,y}|f(x)-f(y)|. $$

Answer 2

De acuerdo con la "secuencia", doy un replanteamiento de su resultado, y luego doy una prueba. Por favor, compruebe si mi prueba es correcta.

Lema : Dejemos que $f\colon X\to\mathbb{R}$ y $A\subset X$ con $A\neq \emptyset.$ Si $f$ está acotado en $A,$ entonces \begin{gather*} \sup\{f(x)\mid x\in A\}-\inf\{f(x)\mid x\in A\}=\sup\{\left|f(x)-f(y)\right| \mid x,y\in A\}. \end{gather*}

Prueba: Dejemos que $x\in A$ y $y\in A.$ Desde $f$ está acotado en $A,$ tenemos $f(x)\leq \sup\{f(t)\mid t\in A\}$ y $f(y)\geq \inf\{f(t)\mid t\in A\}.$ Así, $-f(y)\leq -\inf\{f(t)\mid t\in A\}.$ De ello se desprende que $f(x)-f(y)\leq \sup\{f(t)\mid t\in A\}-\inf\{f(t)\mid t\in A\}.$ Del mismo modo (o simplemente intercambiando $x$ y $y$ ), también tenemos $f(y)-f(x)\leq \sup\{f(t)\mid t\in A\}-\inf\{f(t)\mid t\in A\}.$ Por lo tanto, $|f(x)-f(y)|\leq \sup\{f(t)\mid t\in A\}-\inf\{f(t)\mid t\in A\}.$ Por lo tanto, deducimos que $\sup\{|f(x)-f(y)|\mid x,y\in A\}\leq \sup\{f(t)\mid t\in A\}-\inf\{f(t)\mid t\in A\}.$ A la inversa, para cada $u$ y $v$ en $A,$ tenemos $f(u)=f(u)-f(v)+f(v)\leq |f(u)-f(v)|+f(v)\leq \sup\{|f(x)-f(y)|\mid x,y\in A\}+f(v).$ Porque $u$ es arbitraria, tenemos $\sup\{f(u)\mid u\in A\}\leq \sup\{\left|f(x)-f(y)\right|\mid x,y\in A\}+f(v),$ lo que implica que $f(v)\geq \sup\{f(u)\mid u\in A\}-\sup\{|f(x)-f(y)|\mid x,y\in A\}$ y así $\inf\{f(v)\mid v\in A\}\geq \sup\{f(u)\mid u\in A\}-\sup\{|f(x)-f(y)|\mid x,y\in A\}.$ Por reordenación, tenemos $\sup\{f(u)\mid u\in A\}-\inf\{f(v)\mid v\in A\}\leq \sup\{|f(x)-f(y)|\mid x,y\in A\}.$ Por lo tanto, hemos demostrado que $\sup\{f(u)\mid u\in A\}-\inf\{f(v)\mid v\in A\}= \sup\{|f(x)-f(y)|\mid x,y\in A\}.$