Cierre de $B=\{ f\in C'[0,1] : |f(x)|\leq 1, |f'(t)|\leq 1 \forall t\in[0,1]\}$ (NBHM $2005$ )

Question

Si $A$ es el cierre en $\mathcal{C}[0,1]$ del conjunto $B$ donde

$$B=\{ f\in C'[0,1] : |f(x)|\leq 1, |f'(t)|\leq 1 \forall t\in[0,1]\}$$

Entonces, ¿cuál de las siguientes afirmaciones es cierta?

• $A$ está cerrado.
• $A$ es compacto.
• $A$ está conectado.
• $A$ es denso.

seguro $A$ es cerrado ya que es el cierre de algún conjunto.

No estoy seguro de cuáles son todos los elementos en $B$ pero podría figurar una gran colección :

$\{\sin x, \cos x , x, \frac{x^2}{2},\frac{x^3}{3},\cdots,\frac{x^n}{n}.\cdots\}$

No podía ver lo que sería entero $B$ y no podía pensar en el cierre de $B$ como un conjunto concreto.

Estaría agradecido si alguien puede ayudarme a aclarar esto.

Gracias.

Answer 1

Arzelà-Ascoli afirma que un conjunto de funciones equicontinuas y uniformemente acotadas sobre $[0,1]$ tiene una subsecuencia uniformemente convergente. Por lo tanto, $B$ es relativamente compacto (ya que $C[0,1]$ es un espacio métrico).

Un conjunto convexo es conexo, y también lo es su cierre ( $C[0,1]$ es un espacio normado). Para demostrar que $B$ es convexo, considere $f,g \in B$ y $\lambda \in [0,1]$ . Entonces $|\lambda f(x)+(1-\lambda)g(x)| \le \lambda |f(x)| + (1-\lambda)|g(x)| \le 1$ y de forma similar para $\lambda f'(x)+(1-\lambda)g'(x)$ . Por lo tanto, $\lambda f+(1-\lambda)g \in B$ .

Si tomo la función $f(x) = 3$ es evidente que $B(f,1) \cap B = \emptyset$ . Por lo tanto, $B$ no puede ser denso.