La varianza de un almacén de variable aleatoria

Question

Suponga que una variable aleatoria tiene una inferior y un límite superior [0,1]. Cómo calcular la varianza de una variable de este tipo?

Answer 1

Usted puede probar Popoviciu la desigualdad de la siguiente manera. El uso de la notación $m=\inf X$$M=\sup X$. Definir una función $g$ por $$ g(t)=\mathbb{E}\left[\left(X-t\right)^2\right] \, . $$ Calcular la derivada $g'$, y la resolución de $$ g'(t) = -2\mathbb{E}[X] +2t=0 \, , $$ nos encontramos con que $g$ alcanza su mínimo en $t=\mathbb{E}[X]$ (tenga en cuenta que $g''>0$).

(De hecho, usted ni siquiera necesita para calcular esta derivada: ver Dilip de la "vieja escuela" truco en su comentario a continuación.)

Ahora, considere el valor de la función $g$ en el especial punto de $t=\frac{M+m}{2}$. Debe ser el caso que $$ \mathbb{Var}[X]=g(\mathbb{E}[X])\leq g\left(\frac{M+m}{2}\right) \, . $$ Pero $$ g\left(\frac{M+m}{2}\right) = \mathbb{E}\left[\left(X - \frac{M+m}{2}\right)^2 \right] = \frac{1}{4}\mathbb{E}\left[\left((X-m) + (X-M)\right)^2 \right] \, . $$ Desde $X-m\geq 0$$X-M\leq 0$, tenemos $$ \left((X-m)+(X-M)\right)^2\leq\left((X-m)-(X-M)\right)^2=\left(M-m\right)^2 \, , $$ lo que implica que $$ \frac{1}{4}\mathbb{E}\left[\left((X-m) + (X-M)\right)^2 \right] \leq \frac{1}{4}\mathbb{E}\left[\left((X-m) - (X-M)\right)^2 \right] = \frac{(M-m)^2}{4} \, . $$ Por lo tanto, hemos demostrado Popoviciu la desigualdad $$ \mathbb{Var}[X]\leq \frac{(M-m)^2}{4} \, . $$

Answer 2

Si la variable aleatoria es restringido a $[a,b]$ y sabemos que la media de $\mu=E[X]$, la varianza es delimitada por $(b-\mu)(\mu-a)$.

Consideremos primero el caso de $a=0, b=1$. Tenga en cuenta que para todos los $x\in [0,1]$, $x^2\leq x$, por tanto, también se $E[X^2]\leq E[X]$. Usando este resultado, \begin{equation} \sigma^2 = E[X^2] - (E[X]^2) = E[X^2] - \mu^2 \leq \mu - \mu^2 = \mu(1-\mu). \end{equation}

Para generalizar a intervalos de $[a,b]$$b>a$, considere la posibilidad de $Y$ restringido a $[a,b]$. Definir $X=\frac{Y-a}{b-a}$, que se limita en $[0,1]$. Equivalentemente, $Y = (b-a)X + a$, y por lo tanto \begin{equation} Var[Y] = (b-a)^2Var[X] \leq (b-a)^2\mu_X (1-\mu_X). \end{equation} donde la desigualdad se basa en el resultado de la primera. Ahora, sustituyendo $\mu_X = \frac{\mu_Y - a}{b-a}$, el límite es igual a \begin{equation} (b-a)^2\, \frac{\mu_Y - a}{b-a}\,\left(1- \frac{\mu_Y - a}{b-a}\right) = (b-a)^2 \frac{\mu_Y -a}{b-a}\,\frac{b - \mu_Y}{b-a} = (\mu_Y - a)(b- \mu_Y), \end{equation} cual es el resultado deseado.

Answer 3

Deje $F$ ser una distribución en $[0,1]$. Vamos a demostrar que si la varianza de $F$ es máxima, a continuación, $F$ puede tener ningún apoyo en el interior, del que se desprende que $F$ es de Bernoulli y el resto es trivial.

Como una cuestión de notación, deje $\mu_k = \int_0^1 x^k dF(x)$ $k$th raw momento de la $F$ (y, como de costumbre, escribimos $\mu = \mu_1$ $\sigma^2 = \mu_2 - \mu^2$ de la varianza).

Sabemos $F$ no tiene todo su apoyo en un punto (la varianza es mínima en este caso). Entre otras cosas, esto implica $\mu$ se encuentra estrictamente entre el$0$$1$. Con el fin de argumentar por contradicción, supongamos que existe algún subconjunto medible $I$ en el interior $(0,1)$ que $F(I)\gt 0$. Sin pérdida de generalidad podemos suponer que (cambiando $X$ $1-X$si es necesario) que $F(J = I \cap (0, \mu]) \gt 0$: en otras palabras, $J$ se obtiene al cortar cualquier parte de $I$ por encima de la media y $J$ tiene probabilidad positiva.

Nos deja alterar $F$ $F'$tomando todas la probabilidad de $J$, que coloca a $0$. Al hacerlo, $\mu_k$ cambios

$$\mu'_k = \mu_k - \int_J x^k dF(x).$$

Como una cuestión de notación, vamos a escribir $[g(x)] = \int_J g(x) dF(x)$ de tales integrales, de donde

$$\mu'_2 = \mu_2 - [x^2], \quad \mu' = \mu - [x].$$

Calcular

$$\sigma'^2 = \mu'_2 - \mu'^2 = \mu_2 - [x^2] - (\mu - [x])^2 = \sigma^2 + \left((\mu[x] - [x^2]) + (\mu[x] - [x]^2)\right).$$

El segundo término de la derecha, $(\mu[x] - [x]^2)$, no es negativo debido a que $\mu \ge x$ todas partes en $J$. El primer término de la derecha se puede volver a escribir

$$\mu[x] - [x^2] = \mu(1 - [1]) + ([\mu][x] - [x^2]).$$

El primer término de la derecha es estrictamente positivo, porque (a) $\mu \gt 0$ y (b) $[1] = F(J) \lt 1$ porque hemos asumido $F$ no está concentrada en un punto. El segundo término no es negativo porque puede ser reescrita como $[(\mu-x)(x)]$ e esta integrando es no negativa de los supuestos $\mu \ge x$$J$$0 \le x \le 1$. De ello se desprende que $\sigma'^2 - \sigma^2 \gt 0$.

Acabamos de manifiesto que, en nuestra hipótesis, el cambio de $F$ $F'$estrictamente aumenta su varianza. La única manera en que esto no sucede, entonces, es cuando la probabilidad de $F'$ se concentra en los extremos de $0$$1$, con (por ejemplo) los valores de $1-p$$p$, respectivamente. Su varianza se calcula fácilmente a la igualdad de $p(1-p)$ que es máxima cuando $p=1/2$ y es igual a $1/4$ no.

Ahora, cuando $F$ es una distribución en $[a,b]$, podemos volver a centrar y escalarlo para una distribución en $[0,1]$. El recentering no cambia la varianza, mientras que el reescalado divide por $(b-a)^2$. Por lo tanto una $F$ con la máxima variación en $[a,b]$ corresponde a la distribución con la máxima variación en $[0,1]$: por lo tanto, es una de Bernoulli$(1/2)$ distribución de reescalado y traducido a $[a,b]$ tener varianza $(b-a)^2/4$, QED.

Answer 4

En @user603 la solicitud de....

Un útil límite superior de la varianza $\sigma^2$ de una variable aleatoria que toma los valores en $[a,b]$ con una probabilidad de $1$$\sigma^2 \leq \frac{(b−a)^2}{4}$. Una prueba de la caso especial $a=0, b=1$ (que es lo que el OP se le preguntó acerca) se puede encontrar aquí en matemáticas.SÍ, y se adapta fácilmente a el caso más general. Como señalé en mi comentario anterior y también en la respuesta que hace referencia aquí, una variable aleatoria discreta que toma los valores $a$ $b$ con la igualdad de probabilidad de $\frac{1}{2}$ varianza $\frac{(b−a)^2}{4}$ y por lo tanto no hay más estrictos general obligado puede ser encontrado.

Otro punto a tener en cuenta es que un delimitada variable aleatoria tiene finita la varianza, mientras que para una desenfrenada variable aleatoria, la varianza puede que no ser finito, y en algunos casos podría incluso no ser definible. Por ejemplo, la media no puede ser definida por Cauchy variables aleatorias, y así uno no puede definir la varianza (como la esperanza del cuadrado de la desviación de la media).

Answer 5

¿estás seguro de que esto es cierto en general para la continua así como distribuciones discretas? Se puede proporcionar un enlace a otras páginas? Para un general de distribución en $[a,b]$ es trivial demostrar que $$ Var(X) = E[(X-E[X])^2] \le E[(b-a)^2] = (b-a)^2. $$ Me imagino que más nítidas de desigualdades ... ¿Necesita el factor de $1/4$ de su resultado?

Por otro lado, se puede encontrar con el factor de $1/4$ bajo el nombre de Popoviciu's_inequality en la wikipedia.

En este artículo se ve mejor que el artículo de la wikipedia ...

Para una distribución uniforme se tiene que $$ Var(X) = \frac{(b-a)^2}{12}. $$