El límite de la unión de dos conjuntos es un subconjunto de la unión de límites

Question

Estoy atascado en el intento de iniciar esta prueba.

Quiero demostrar que $\delta(S_1 \cup S_2)\subset \delta S_1\cup\delta S_2$ , donde $S$ es algún conjunto.

No necesito una prueba completa, sólo una pista para empezar.

Aquí $\delta$ denota el límite de un conjunto.

Después de considerar algunas respuestas, esto es lo que tengo.

Demostraré que $\delta(S_1 \cup S_2)\subset \delta S_1\cup\delta S_2$ . Dejemos que $x_0$ sea un punto interior de $\delta(S_1 \cup S_2)$ . Por definición, tenemos que existe algún $\epsilon$ -vecino de $x_0$ tal que $ V = (x_0-\epsilon,x_0+\epsilon)\subset \delta(S_1 \cup S_2)$ . Desde $x_0$ es un punto interior de $\delta(S_1 \cup S_2)$ , lo que implica que el $\epsilon$ -Vecindario $V$ contiene algún punto $y\in S_1$ o $y\in S_2$ y $V$ contiene algún punto $z\in(S_1\cup S_2)^c$ por definición de punto límite. Si $y\in S_1$ entonces eso implica que $x_0\in \delta S_1$ . Del mismo modo, si $y\in S_2$ entonces $x_0\in \delta S_2$ . Por lo tanto, tenemos que $V$ está contenida en $\delta S_1\cup \delta S_2$ , lo que da como resultado que $\delta(S_1\cup S_2)\subset \delta S_1\cup \delta S_2$ , según se desee.

Answer 1

Basta con demostrar que si un punto está en la frontera de $S_1\cup S_2$ entonces está en el límite de $S_1$ o $S_2$ .

Podría ser más sencillo abordar la contraposición, a saber: si un punto no está en la frontera de $S_1$ o $S_2$ entonces no está en el límite de $S_1\cup S_2$ . Si un punto no está en el límite de $S_1$ ni $S_2$ entonces debe estar en el interior de uno de los conjuntos, o en el exterior de ambos. Ahora sólo hay que demostrar que en cada uno de estos casos, alguna vecindad de dicho punto está completamente contenida en $S_1\cup S_2$ o completamente disociada de ella.

Pista: si un punto está en el interior de $S_1$ También está en el interior de $S_1\cup S_2$ . Si alternativamente se tienen dos vecindades de un punto completamente disjuntas entre sí $S_1,S_2$ respectivamente, entonces su intersección será también una vecindad, y disjunta de la unión $S_1\cup S_2$ .