Método de Fermat - Derivar el peor caso $n=3p$

Question

Actualmente estoy tratando de entender el método de Fermat: para un número $n$ empezamos con $x=\lceil\sqrt{n}\rceil$ y comprobamos si $\sqrt{x^2-n}\in\mathbb N$, si no, aumentamos $x$ y volvemos a intentar, etc. hasta que $x^2-n=y^2$ y por lo tanto $n=(x+y)(x-y)$.

Creo que entiendo el concepto general, pero lo que no entiendo es por qué solo tenemos que comprobar los valores de $x$ tales que $x\le\frac{n+9}{6}$ (por ejemplo, según el libro de Pomerance y Crandall en la página 226). Parece estar relacionado con el peor caso $n=3p$.

Parece ser un hecho trivial (para ellos), pero no logro entenderlo.

Answer 1

Supongamos que existe una solución no trivial (es decir, $x-y\geq 3$) tal que $x>\frac{n+9}{6}$. Entonces $$\left(\frac{n+9}{6}\right)^2-y^2\frac{n-9}{6}.$$ Por lo tanto, tenemos $x+y>\frac{n}{3}$. Esto implica que $x-y<3$, lo cual es una contradicción.