Quiero encontrar una función de Liapunov en $(0, 0)$ para el sistema $x'=f(x)$ : \begin{align} x_1'=& x_2 \\ \\ x_2'=& -4x_1-2x_2 \end{align}
Vi algo parecido en un libro de texto y decidí intentarlo:
\begin{equation} V(x) = x_1^2+\beta x_2^2 \end{equation} Donde ahora encontraré $\beta$ : \begin{align} \nabla\cdot f =& 2x_1x_2+2\beta x_2(-4x_1-2x_2) \\ \\ =& 2x_1x_2-8\beta x_1x_2 -4\beta x_2^2 \\ \\ =& 2x_1x_2(1-4\beta) - 4\beta x_2^2 \end{align} Así que, $\beta = \frac{1}{4}$ es suficiente y tenemos: \begin{equation} V(x) = x_1^2+\frac{1}{4}x_2^2. \end{equation}
Ahora comprobando las condiciones de Liapunov:
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$V(0) = 0$ . Esto está claro.
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$V(x) > 0$ para todos $x \neq 0$ Esto también está claro.
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$\nabla\cdot f \leq 0$ . Tenemos que $\nabla\cdot f = -x_2^2 \leq 0$
$$\therefore V(x) = x_1^2+\frac14x_2^2$$
Es una función de Liapunov con respecto a $(0, 0)$ . ¿Es esto correcto?
