Encontrar el límite $\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{\dfrac{x^n}{2n+1}}=\text{?} \ \ \ \ :x>0$

Question

Encuentre el límite abajo:

$$\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{\dfrac{x^n}{2n+1}}=\text{?} \ \ \ \ :x>0$$

Mi intento : $$a_n:=\sqrt[n]{\dfrac{x^n}{2n+1}}\\ \ln a_n=\dfrac{1}{n}\ln \left(\dfrac{x^n}{2n+1} \right)\\ \ln a_n=\dfrac{1}{n}\left(n\ln x-\ln(2n+1)\right) \\ \ln a_n=\ln x-\ln(\dfrac{2n+1}{n}) $$

Así que tenemos :

$$\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{\dfrac{x^n}{2n+1}}=e^{\ln x-\ln 2}$$

¿Es correcto?

Answer 1

Aquí tenemos una ruta más sencilla. Tenemos $$ \lim \frac{a_{n+1}}{a_n} = \lim \sqrt[n]{a_n} $$ cuando existen ambos límites. Para la secuencia en cuestión, el límite izquierdo es $x$ .

Answer 2

Has cometido un error al dividir por $n$ . Lo que debería tener en la línea final, es $$ln(a_n)=ln(x)-\frac{ln(2n+1)}{n}$$

El segundo término llega a 0 como $n\to +\infty$ ( $n$ es mucho mayor que $ln(an+b)$ ), y la primera es constante. Por lo tanto, $lim_n a_n=e^{ln(x)}=x$ y esto para todos $x>0$ .

Answer 3

Tenga en cuenta que

$$\begin{align} \lim_{n\to \infty }\sqrt[n]{\frac{x^n}{2n+1}}&=x\lim_{n\to \infty }e^{-\frac1n \log(2n+1)}\\\\ &=xe^{-\color{blue}{\lim_{n\to \infty }\frac1n \log(2n+1)}}\\\\ &=xe^{-\color{blue}{0}}\\\\ &=x \end{align}$$

Answer 4

Tienes casi razón el único problema es $\frac{1}{n} \ln (2n+1)$ NO es igual a $\ln(\frac{2n+1}{n})$ . Pero $\frac{1}{n}\ln(2n+1)\to 0$ cuando $n\to \infty$ . Entonces $$ \ln(a_n)=\ln(x) +\frac{1}{n}\ln(2n+1)\to \ln(x) $$

Por lo tanto, $a_n$ tiende a $x$ .