Encontrar una función dominante para una secuencia de funciones

Question

Tengo una secuencia de funciones: para $p\geq 0$ y en $\mathbb R$ Considera que $$f_n(x)=n^p1_{(0,\frac{1}{n})}$$ Quiero mostrar:

1. $f_n\to f$ punto de vista
2. Para lo cual $p$ es $\lim_{n\to\infty}\int f_ndm=0?$ ( $m$ denotando la medida de Lebesgue).
3. Encontrar una función dominante $g$ tal que $f_n(x)\leq g(x)$ para todos $n$ y utilizar el Teorema de Convergencia Dominada para interpretar la respuesta en (b) a la luz de $g$ .

Mi solución :
1)Que $x\in \mathbb R, \epsilon >0$ . A continuación, elija $N$ tal que $x>\frac{1}{N}$ . Entonces, para cualquier $n>N$ , $x>\frac{1}{N}>\frac{1}{n}$ y $\lvert f_n(x)\rvert=0<\epsilon$ . Así, $f_n\to f$ en el sentido de la palabra.

2) $$\lim_{n\to\infty}\int f_ndm=\lim_{n\to\infty}\int n^p1_{(0,\frac{1}{n})}(x)=\lim_{n\to\infty}n^pm((0,\frac{1}{n}))=\lim_{n\to\infty}n^p\frac{1}{n}=\lim_{n\to\infty}n^{p-1}$$ Ahora, como queremos que este límite llegue a $0$ , $p<1$ debe ser cierto ya que $n\in\mathbb N$ .

3) Para #3, no estoy muy seguro de cómo encontrar una función que domine esta secuencia de funciones ya que las que se me ocurren dependen de $n$ pero creo que $g$ no debe depender de $n$ para el uso de DCT. Me gustaría que me ayudaran a dar un ejemplo.

¿Son correctas mis soluciones? Y me gustaría que me ayudaran a encontrar una función dominante para la secuencia dada.

Answer 1

$x^{-p}$ es una función integrable dominante para $p<1$ . Tenga en cuenta que $0<x<\frac 1 n$ implica $n^{p} <x^{-p}$ .