El ángulo de los soportes para las tuplas

Question

Recientemente he notado que el uso de corchetes angulares para la escritura de las tuplas, por ejemplo, $\langle x, y \rangle$ en lugar de la habitual ronda de los soportes en los pocos libros que he estado leyendo - Lawvere de Conjuntos para las Matemáticas, Mac Lane Categorías para el Trabajo Matemático, Forster Lógica, la inducción y establece, por ejemplo. También he visto que el uso ocasional de la misma en Hartshorne de la Geometría Algebraica, pero no entre paréntesis parece predominante. Hay una sutil distinción entre las dos notaciones he echado de menos, y lo que puede ser las razones para no usar paréntesis? Es esta práctica peculiar a una tradición particular en matemáticas (por ejemplo, fundaciones)?

Answer 1

Algunos analistas (en un sentido amplio) escribir $\langle x,y\rangle$ (escuadras), para $x$ $y$ elementos de un mismo conjunto $X$, para referirse a la par ordenado elemento de $X\times X$. Una más clásica (para mí) la notación es $(x,y)$ (entre paréntesis), pero, si, por ejemplo,$X=\mathbb R$$x\leqslant y$, la notación $(x,y)$ puede referirse a el intervalo abierto $\{z\in\mathbb R\mid x<z<y\}$. De ahí la notación de corchetes podría haber sido diseñado como una forma de evitar la confusión. Bourbaki el uso de la notación $]x,y[$ para abrir intervalos y $[x,y]$ de los segmentos. Esta notación, de uso frecuente en la matemática de la literatura escrita en francés (y en otros), se elimina el riesgo de confusión se mencionó anteriormente.

No sé cómo de útil entre paréntesis son para objetos como $\langle\mathbb Z,+\rangle$, puesto que los objetos dentro de los corchetes son de una naturaleza diferente.

Answer 2

Yo no soy un experto, pero estoy bastante seguro de la diferencia entre el ángulo y entre paréntesis depende de la persona convenciones de notación de cada autor/libro/trabajo.

A veces veo soportes en ángulo en lugar de la ronda sin ningún significado en particular, mientras que (en el ejemplo) en la computabilidad y complejidad de clase I sólo asistieron los paréntesis se utilizan para el clásico tuplas: los soportes de ángulo se utiliza como un acceso directo a la media de la codificación de una máquina de turing de que tupla.

Por desgracia no tengo ninguna pista sobre los orígenes de los soportes de ángulo, sería interesante.

Answer 3

Herbert Enderton, y a otros los lógicos-- el uso de corchetes angulares para indicar una estructura, es decir, un conjunto subyacente de las funciones, relaciones y constantes. Por ejemplo, se denota la usual de los números naturales con la adición, multiplicación, una identidad 0 para la suma y una identidad 1 para la multiplicación (en ese orden) como $\left\langle\mathbb{N},+^{\mathbb{N}},\cdot^{\mathbb{N}},0^{\mathbb{N}},1^{\mathbb{N}}\right\rangle$.

En general, para una estructura $\mathfrak{A}$ relaciones $r_1,\dots,r_i$ (cada uno de un determinado arity), las funciones de $f_1,\dots,f_j$ (cada uno de un determinado arity) y las constantes de $c_1,\dots,c_k$, una interpretación de esta estructura con el dominio $A$ es denotado $\left\langle A,r_1^{\mathfrak{A}},\dots,r_i^{\mathfrak{A}},f_1^{\mathfrak{A}},\dots,f_j^{\mathfrak{A}},c_1^{\mathfrak{A}},\dots,c_k^{\mathfrak{A}}\right\rangle$.

No sé si esta notación vino de álgebra primera, pero, como ya se ha comentado, parece que algunos autores utilizan el ángulo de brackes para estructuras algebraicas en general (por ejemplo,$\langle\mathbb{Z},+\rangle$, $\langle\mathbb{R},+,\cdot\rangle$).

Otro uso de los corchetes angulares es para indicar que un producto interior en un espacio vectorial, para distinguir el interior del producto con otros conocidos operaciones entre los elementos del espacio, por ejemplo, la composición de automorfismos de un conjunto dado y la multiplicación de números en un anillo, que usualmente se denota con el común sintáctica de concatenación ($fg$ para la composición de $f$ y $g$, $xy$ para el (anillo)producto de $x$ y $y$).

Answer 4

Yo no creo que esto es exactamente lo que usted está preguntando acerca de, sino a nivel de encargados de tuplas de elementos, me gustaría utilizar paréntesis para destacar que sólo me importa acerca de la tupla como un objeto de punto, y los ángulos de destacar que me importa la tupla como una dirección o vector.

Por ejemplo, yo podría tener una línea parametrizadas por $t$ con la ecuación de$$(x,y,z)=(x_0,y_0,z_0)+t\langle a,b,c\rangle$$