Se confunde con el estimador de variables aleatorias.

Question

Estoy trabajando en un ejercicio de práctica para preparar un final esta semana. Estoy muy atascado en el siguiente problema:

Dejemos que $X_1, X_2$ sea una muestra aleatoria para una población con la función de densidad de probabilidad $$ f_k(x) = \left\{ \begin{matrix} {\displaystyle \frac{6x(k-x)}{k^3}} & \textrm{ if } 0 \leq x \leq k \\ \qquad 0 & \textrm{ else } \end{matrix} \right. $$ donde $k>0$ . Dejemos que $\hat{X} = X_1 + X_2$ . Utilizando $\hat{X}$ como estimador, encuentre el intervalo de confianza del 90% para $k$ .

Busco sobre todo un punto de partida para el problema. No estoy seguro de cómo utilizar lo que sé sobre los estimadores.

Answer 1

Definir $Y_i=X_i/k,\quad i=1,2$ . Entonces $Y_i \overset{iid}{\sim} Beta(2,2)$ Por lo tanto $\hat{X}/k=Y_1+Y_2$ es su cantidad pivote (variable aleatoria libre de k). Así que haz esto:

1. Encuentre la distribución de $Z=Y_1+Y_2,$ la suma de dos iid $Beta(2,2)$ variables aleatorias
2. Encontrar constantes positivas $a,b$ (puede no ser único) tal que $P(a<Z<b)=.90$
3. Desde $Z=\hat{X}/k$ el IC del 90% es $(\hat{X}/b,\hat{X}/a)$

Espero que esto ayude.