Solución de $x'(t) = - a (x(t)^2 - b^2)$

Question

Estoy intentando reproducir los resultados de un artículo y esta ecuación diferencial

$$x'(t) = - a(x(t)^2 - b^2)$$

está en el centro del documento donde a y b son números positivos mayores que cero.

No puedo ver cómo llegan a una solución de $x(t) = -b \coth(b(a t+ C_1))$ sólo por integración.

He intentado resolver esta ecuación diferencial con Mathematica y me da una solución de

$$x(t) = b \tanh[b (a t + C[1])]$$

que no creo que sea lo mismo. Me gustaría saber cómo llegan a este resultado. Muchas gracias.

Answer 1

Se trata de una ecuación de Riccati como ha dicho @YoTengoUnLCD en los comentarios.

La ecuación de Riccati más general es:

$$x'=Ax^2+Bt^n$$

Se resuelve utilizando primero la sustitución:

$$x(t)=-\frac{1}{A} \frac{y(t)'}{y(t)}$$

Sustituyendo directamente, obtenemos:

$$-\frac{1}{A} \frac{y''}{y}+\frac{1}{A} \frac{y'^2}{y^2}=\frac{1}{A} \frac{y'^2}{y^2}+Bt^n$$

$$y''+ABt^ny=0$$

En nuestro caso $AB=-(ab)^2$ y $n=0$ Así obtenemos:

$$y''-(ab)^2y=0$$

Pero esto es sólo la ecuación del oscilador armónico (imaginario). La solución general es:

$$y=C_1 e^{abt}+C_2 e^{-abt}$$

Ahora volviendo a $x(t)$ :

$$x=b \frac{C_1e^{abt}-C_2 e^{-abt}}{C_1 e^{abt}+C_2 e^{-abt}}=b \frac{e^{2ab(t+t_0)}-1}{e^{2ab(t+t_0)}+1}=b \tanh(ab(t+t_0))$$

Aquí tenemos:

$$\frac{C_1}{C_2}=e^{2abt_0}$$

Esta es la misma solución que da Mathematica. Si quieres obtener otra forma de solución, la que se utiliza en el documento, tienes que poner:

$$\frac{C_1}{C_2}=-e^{2abt_0}$$

Entonces lo tendrás:

$$x=b \frac{-e^{2ab(t+t_0)}-1}{-e^{2ab(t+t_0)}+1}=-b \coth(ab(t+t_0))$$