La secuencia $(\frac{1}{n})_{n \in \mathbb{N}}$ No converge en $\mathbb{R}$ w. métrica discreta

Question

Demuestre que, en $\mathbb{R}$ con la métrica discreta, la secuencia $(\frac{1}{n})_{n \in \mathbb{N}}$ no converge.

Agradecería una comprobación/ayuda de la prueba. Así es como empecé mi prueba:

Nuestra secuencia $S := (\frac{1}{n})_{n \in \mathbb{N}}$ es $1, \frac{1}{2}, ... , \frac{1}{n}$ en $\mathbb{R}$ . Dado que ninguno de los términos de $S$ son iguales, es decir $s_i \ne s_j$ para $i \ne j$ con la métrica discreta la distancia entre todos los términos de $S$ es $1$ . (Ya que wrt. métrica discreta, $d(x, y) = 1$ si $x \ne y$ ). Esto significa que la distancia entre todos nuestros términos es $1$ . Esto significa que $s_n$ no se acerca arbitrariamente a ningún término. Así que, $S$ no puede converger.

Realmente no puedo poner la parte de la prueba en negrita en "lenguaje matemático". ¿Debería haber empezado esto con una prueba por contradicción? Agradecería cualquier corrección/orientación para demostrar el enunciado. Gracias.

Answer 1

Supongamos que $(s_n)$ convergería. Entonces es una secuencia de Cauchy (la convergencia siempre implica Cauchy). Sin embargo, como has señalado, es no Cauchy, lo que contradice la hipótesis de convergencia.

Answer 2

Supongamos que la secuencia converge a $x\in\mathbb{R}$ . Entonces, cualquier conjunto abierto que contenga $x$ debe contener todos los términos de la sucesión menos un número finito (definición de límite en un espacio topológico). Consideremos el conjunto abierto $\{x\}$ . Obviamente, esto contiene $x$ . Entonces, todos los términos de la secuencia, excepto los finitos, están en el conjunto $\{x\}$ . Pero, esto significa que todos los términos de la secuencia, excepto los finitos, son iguales a $x$ y al mismo tiempo, $\frac{1}{n}\neq \frac{1}{m}$ para $m\neq n$ por lo que tenemos una contradicción.