Dejemos que $T : V → V$ sea una transformación lineal. Demuestre que $T^2 = I $ si y sólo si $V = ker(T − I) ⊕ ker(T + I)$

Question

Dejemos que $T : V V$ sea una transformación lineal. Demuestre que $T^2 = I $ si y sólo si $V = ker(T I) ker(T + I)$

respuesta:

dejar $U=(T-I)$ y $W=(T+I)$

$V=U \bigcap W$

$V\in ker(T-I) : (T-I)(v)=0, Tv-v=0$

$V\in ker(T+I) : (T+I)(v)=0, Tv+v=0$

$ [Tv-v=0]-[Tv-v=0] v=0$

$V=V+Tv-Tv$

¿Estoy en el camino correcto para resolver la pregunta y cómo completarla, y si no ¡¡¡alguien podría ayudarme a través de !!!

Answer 1

Ya que para cualquier $v\in V$ $$ v=\frac1{2}((T+I)v-(T-I)v) $$ Tenemos $$V=W+U$$ donde $$ x=\frac1{2}(T+I)v, \:x\in W\quad\text{and}\quad y=\frac1{2}(I-T)v, \:y\in U $$ Si hay un $z\in W\cap U$ entonces $$ z=\frac1{2}(T+I)v'=-\frac1{2}(T-I)v' $$ Por lo tanto, tenemos $v'=0$ y así $z=0$ . Así, $W\cap U=0$ y concluimos $$V=W\oplus U$$

Desde $$ (T-I)x=\frac1{2}(T-I)(T+I)v=0 $$ Hay $$ W=\ker{(T-I)} $$ Asimismo, desde $$ (T+I)y=-\frac1{2}(T-I)(T+I)v=0 $$ Tenemos $$ U=\ker{(T+I)} $$ Por lo tanto, $$ V=\ker{(T-I)}\oplus \ker{(T+I)} $$

Answer 2

Supongamos primero que $T^2 =I$ . Entonces, observamos automáticamente que $\ker (T-I) \cap \ker (T+I) = 0$ ya que si $v \in \ker(T-I)\cap \ker (T+I)$ entonces vemos que $v = -v$ su inversa aditiva, de modo que $v = 0$ de forma idéntica.

Ahora empleamos el teorema de nulidad de rango: Sabemos que $\dim V = \dim \textrm{im} (T-I) + \dim \ker (T-I)$ de modo que si elegimos $v \notin \ker (T-I)$ concluimos que $v \in \textrm{im} (T-I)$ (básicamente, $V = \ker (T-I) + \textrm{im} (T-I)$ ).

Utilizando esto, supongamos que es así. Entonces, $v = (T-I)(u)$ para algunos $u \in V$ . Ahora aplique $T+I$ a ambos lados: Lo hemos hecho: $$(T+I)(v) = (T+I)(T-I)(u) = (T^2 - I)(u) = 0$$

Desde $T^2 = I$ . Así, $\ker (T+I) = \textrm{im} (T-I)$ . Podemos juntar esto con lo anterior para concluir $V = \ker (T-I) \oplus \ker (T+I)$ .

Por el contrario, supongamos que $V = \ker (T-I) \oplus \ker (T+I)$ . Entonces, dado $v \in V$ sabemos que es de la forma $v = u + w$ con $u \in \ker (T-I)$ , $w \in \ker (T+I)$ .

A continuación, aplique $T$ una vez a ambos lados:

$$T(v) = T(u) + T(w) = u - w$$

Aplique $T$ una vez más:

$$T^2 (v) = T(u) - T(w) = u + w = v$$

Así que $T^2 = I$ , según se desee.