Prueba $\lim \limits_{n \to \infty} b_n$ existe

Question

Si $\frac{b_n}{b_{n+1}} = 1 + \beta_n,\ n= 1,2,...,$ y la serie $\sum_{n=1}^{\infty} \beta_n$ converge absolutamente, entonces el límite $\lim \limits_{n \to \infty} b_n = b \in \Bbb R$ existe

Para $1>\varepsilon>0$ Hay un $N \in \Bbb N$ tal que para $n>N$ , $|\beta_n| < \varepsilon $ .

Entonces $\frac{b_n}{b_{n+1}} > 0$ y así cada $b_k$ tiene el mismo signo para $k>N$ . También tenemos $\lim \limits_{n \to \infty} \frac{b_n}{b_{n+1}} = 1$ . Así, $ \frac{1}{1 - \varepsilon} < \frac{b_{n+1}}{b_n} < \frac{1}{1 + \varepsilon}$ . Entonces, si $b_k > 0$ , $\frac{b_n}{1 - \varepsilon} < b_{n+1} < \frac{b_n}{1 + \varepsilon}$ ; si $b_k < 0$ , $\frac{b_n}{1 - \varepsilon} > b_{n+1} > \frac{b_n}{1 + \varepsilon}$ . No estoy seguro de a dónde ir desde aquí.

Answer 1

Creo que deberías usar el logaritmo aquí, porque convertirá tu fracción en una diferencia que luego puedes convertir en una serie, me explico:

Dejemos que $c_n = ln(\frac{b_n}{b_{n+1}}) = ln(b_n) - ln(b_{n+1})$ entonces $\sum_{i=1}^n c_i = ln(b_1) - ln(b_{n+1})$ y con respecto a la hipótesis, también tenemos $\sum_{i=1}^n c_i = \sum_{i=1}^n ln(1+\beta_n)$

Desde $\beta_n$ es el término de una serie convergente, va a cero en el infinito. Así que $ln(1 + \beta_n)$ equivale a $\beta_n$ y debería poder utilizar los teoremas habituales de comparación de series (sólo un Taylor de primer orden, $\sum \beta_n$ siendo absolutamente convergente) para demostrar que la serie $\sum_{i=1}^n c_i$ efectivamente convergen a un límite $l$ .

Entonces se sostiene que $b_{n+1} = e^{ln(b_1) - \sum_{i=1}^n c_i} \rightarrow e^{ln(b_1) - l} = b_1 e^{-l} $