Prueba de la Ley de DeMorgan generalizada

Question

Queremos verificar la ley generalizada de DeMorgan $(\bigcup_{i \in \mathcal{I}} A_i)^c = \bigcap_{i \in \mathcal{I}} A_i^c$ .

Dejemos que $ x \in (\bigcup_{i \in \mathcal{I}} A_i)^c$ . Entonces $x \notin \bigcup_{i \in \mathcal{I}} A_i$ y $x \notin A_i$ para $i \in \mathcal{I}$ y así $x \in A_i^c$ para todos $i$ . Por lo tanto, $x \in \bigcap_{i \in \mathcal{I}} A_i^c $ . Hemos demostrado que $(\bigcup_{i \in \mathcal{I}} A_i)^c \subset \bigcap_{i \in \mathcal{I}} A_i^c$ .

Ahora debemos demostrar que $\bigcap_{i \in \mathcal{I}} A_i^c \subset (\bigcup_{i \in \mathcal{I}} A_i)^c$ . Ahora dejemos que $x \in \bigcap_{i \in \mathcal{I}} A_i^c.$ Entonces $x \in A_i^c$ para todos $i \in \mathcal{I} $ y así $x \notin A_i$ para todos $i \in \mathcal{I}$ . Por lo tanto, $x \in A_i^c$ para todos $i \in \mathcal{I}$ y así $x \in (\bigcup_{i \in \mathcal{I}} A_i)^c $ .

Entonces $\bigcap_{i \in \mathcal{I}} A_i^c \subset (\bigcup_{i \in \mathcal{I}} A_i)^c$ y como $(\bigcup_{i \in \mathcal{I}} A_i)^c \subset \bigcap_{i \in \mathcal{I}} A_i^c$ tenemos que $(\bigcup_{i \in \mathcal{I}} A_i)^c = \bigcap_{i \in \mathcal{I}} A_i^c$ que es lo que nos propusimos mostrar.

Sólo quiero asegurarme de que mi prueba tiene sentido y esperaba alguna crítica constructiva con respecto al estilo/formato de la prueba.

Answer 1

No debe escribir

para $i= 1,2, \dots$

ya que no sabe que $\mathcal{I}$ es contable (o incluso consiste en números enteros - quizás $\mathcal{I}=\mathbb{Q}$ o $\mathcal{I}=\mathbb{R}^2$ o algún conjunto que ni siquiera contenga números).

En el sentido inverso, se salta de $y \notin A_i$ para todos $i \in \mathcal{I}$ a $y \in (\bigcup_{i \in \mathcal{I}} A_i)^c$ . Ese salto probablemente esté bien en la mayoría de las pruebas, aunque tal vez quieras ceñirte más a las definiciones como hiciste en el sentido de avance si esto es para un curso de introducción a las pruebas. Yo recomendaría añadir un paso intermedio allí.