Demostrar una desigualdad de interpolación

Question

Supongamos que $0 < \beta < \gamma \le 1$ . Demostrar la desigualdad de interpolación $$\|u\|_{C^{0,\gamma}(U)} \le \|u\|_{C^{0,\beta}(U)}^{\frac{1-\gamma}{1-\beta}} \|u\|_{C^{0,1}(U)}^\frac{\gamma-\beta}{1-\beta}.$$

De PDE Evans, 2ª edición: Capítulo 5, Ejercicio 2

Me gustaría amor emplear la desigualdad de Hölder que puede justificar fácilmente esta desigualdad. Pero la desigualdad de Hölder requiere $u \in L^p(U), v \in L^q (U)$ . En cambio, este problema ha $u \in C^{0,\beta}(U) \cap C^{0,1}(U)$ .

El libro de texto da la definición de \begin{align} \|u\|_{C^{0,\gamma}(\bar{U})} &:= \|u\|_{C(\bar{U})}+[u]_{C^{0,\gamma}(\bar{U})} \\ &= \sup_{x \in U} |u(x)|+\sup_{\substack{x,y \in U \\ x \not= y}} \left\{\frac{|u(x)-u(y)|}{|x-y|^\gamma} \right\} \end{align}

Todo lo que sé hasta ahora es que, dado $0 < \beta < \gamma \le 1$ ...

• Si $|x-y|<1$ entonces $\frac 1{|x-y|^\gamma}<\frac 1{|x-y|^\beta}$ , lo que significa que $\|u\|_{C^{0,\gamma}(U)} < \|u\|_{C^{0,\beta}(U)}$ .
• Si $|x-y|\ge 1$ entonces $\frac 1{|x-y|^\gamma}\le \frac 1{|x-y|}$ , lo que significa que $\|u\|_{C^{0,\gamma}(U)} \le \|u\|_{C^{0,1}(U)}$ .

Answer 1

Establecer $t\in (0,1)$ tal que $(1-t)\beta + t = \gamma$ entonces tenemos $$ \frac{|u(x)-u(y)|}{|x-y|^\gamma}= \left( \frac{|u(x)-u(y)|}{|x-y|^{\beta}} \right)^{1-t}\left( \frac{|u(x)-u(y)|}{|x-y|}\right)^t\leq [u]_{\beta}^{1-t}[u]_{1}^t. $$ Además, siempre tenemos $| u|=|u|^{1-t}|u|^t$ . Combinando esto con la estimación anterior obtenemos $$ \| u\|_\gamma \leq |u|_\infty^{1-t}|u|_\infty^t + [u]_{\beta}^{1-t}[u]_{1}^t =:a_1^{1-t}b_1^t+a_2^{1-t}b_2^t. $$ Ahora sólo tienes que escribir $A=a_1+a_2$ , $A_i=a_i/A$ entonces la RHS se convierte en $$ A^{1-t}\left( A_1\left( \frac{b_1}{A_1}\right)^t + A_2 \left( \frac{b_2}{A_2}\right)^t \right) \leq A^{1-t}(b_1+b_2)^t, $$ donde la última desigualdad es la concavidad de la función $s\mapsto s^t$ ya que $A_1+A_2=1$ . Combinando todo esto se obtiene la desigualdad deseada.