Determinar el valor de la integral: $I=\int_0^1\frac{\ln(1+x)}{x}dx$

Question

Determinar el valor de la integral: $$I=\int_0^1\frac{\ln(1+x)}{x}dx$$

Utilizo la expansión de Taylor con $x_0=0$ tenemos:

$$\ln(1+x)=\sum_{i=1}^{\infty}\frac{(-1)^{i+1}x^i}{i}$$

Por lo tanto, $$I=\int_0^1\frac{\ln(1+x)}{x}dx=\int_0^1\sum_{i=1}^{\infty}\frac{(-1)^{i+1}x^{i-1}}{i}dx=\sum_{i=1}^{\infty}\frac{(-1)^{i+1}}{i^2}$$

Pero, ¡venga aquí que no sé cómo! Por favor, ayúdenme. Creo que el resultado es $I=\frac{\pi^2}{12}$

Answer 1

$$\zeta(2)=\sum_1^\infty\frac1{n^2}=\sum_1^\infty\frac1{(2n)^2}+\sum_0^\infty\frac1{(2n+1)^2}=\frac{\zeta(2)}4+\sum_0^\infty\frac1{(2n+1)^2}$$

La suma de probabilidades es, pues, la siguiente $\frac34$ del total, que es $\frac{\pi^2}6$ , a saber $\frac{\pi^2}8$ . Su suma es la diferencia de las dos, $\frac{\pi^2}8-\frac{\pi^2}{24}=\frac{\pi^2}{12}$ .