¿Cómo puedo resolver esta EDP? $u_{tt}(\mathbf{x},t)+ku_t(\mathbf{x},t)-c^2 \Delta u(\mathbf{x},t)=0$

Question

Consideremos la ecuación de onda:

$$u_{tt}(\mathbf{x},t)+ku_t(\mathbf{x},t)-c^2 \Delta u(\mathbf{x},t)=0$$

$\mathbf{x}\in\Bbb R^2, t>0 \\ \space \\ u(\mathbf{x},0)=0 \\ u_t(\mathbf{x},0)=\psi(\mathbf{x})$

a) Determinar $\alpha \in \Bbb R$ tal que $v(\mathbf{x},t):=e^{\alpha t}u(\mathbf{x},t)$ satisface una EDP de primer orden sin derivadas de primer orden en $\Bbb R^2$

b) Determinar un $\beta \in \Bbb R$ tal que $w(x_1,x_2,x_3,t)=w(\mathbf{x},x_3,t):=e^{\beta x_3}v(\mathbf{x},t)$ satisface una EDP en $\Bbb R^2$ con derivadas de segundo orden solamente

c) Demuestre que la solución de la EDP es: $$u(\mathbf{x},t)=\frac{e^{-kt/2}}{2 \pi c} \int_{\lvert y \rvert >ct}d^2y \frac{\cosh(\frac{k}{2c}\sqrt{c^2t^2-\lvert y \rvert^2})}{\sqrt{c^2t^2-\lvert y \rvert^2}}\psi(x+y)$$

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Ni siquiera sé cómo empezar a resolver este problema. a) y b) no tienen ningún sentido para mí. ¿Puede alguien explicar por qué estoy tratando de encontrar $\alpha$ y $\beta$ ¿y qué significan estas constantes?

c) Se parece un poco a la fórmula de Poisson bidimensional, pero por lo que tengo entendido la fórmula de Poisson sólo se aplica a las EDP sin término de disipación.

Tampoco entiendo cómo a) y b) me llevarán a averiguar c). ¿Alguna idea?

Answer 1

Para la parte $a)$ , definiendo $v := e^{\alpha t} u \implies u = e^{- \alpha t} v$ y por lo tanto

\begin{align} u_{t} &= e^{- \alpha t} (v_{t} - \alpha v) \\ u_{tt} &= e^{- \alpha t} (v_{tt} - 2 \alpha v_{t} + \alpha^{2} v) \\ \Delta u &= e^{- \alpha t} \Delta v \end{align}

Por lo tanto (compruébelo usted mismo)

\begin{align} u_{tt} + k u_{t} - c^{2} \Delta u &= v_{tt} + (k - 2 \alpha) v_{t} + (\alpha^{2} - c^{2} \Delta) v \quad (1) \\ &= 0 \end{align}

Para que no existan derivadas parciales de primer orden, tenemos que eliminar la $v_{t}$ ajustando el coeficiente a $0$ . Así que requerimos

$$k - 2 \alpha = 0 \implies \alpha = \frac{k}{2}$$

y por lo tanto

$$u(\mathbf{x}, t) = \exp \bigg( {- \frac{kt}{2}} \bigg) v(\mathbf{x}, t)$$

Se requiere un enfoque similar para la parte $b)$ con el fin de eliminar el $\alpha^{2} v$ término de $(1)$ que le dejaré a usted. Como ya se ha dicho, para la parte $c)$ basta con tomar las derivadas de la solución integral y demostrar que satisface la EDP.