El periodo de oscilación de un sistema masa-muelle está dada por:
$$\boxed{T=2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}}$$
Así que el peso de la bobina $m\mathbf{g}$ no tiene ningún efecto sobre ella, sólo su masa real $m$ .
Sería diferente si fuera un péndulo oscilante.
Para responder a la pregunta central del PO, tenemos que resolver la ecuación de movimiento newtoniana. Con ese conocimiento podremos calcular la velocidad máxima.
Así, consideremos la ecuación de movimiento newtoniana para una masa que oscila en el $y$ -dirección:
$$F_{net}=ma_y=m\frac{\text{d}^2y}{\text{d}t^2}=-ky+mg$$ $$my''(t)+ky(t)-mg=0\tag{1}$$ Sustituto: $$u=ky-mg$$ Así que..: $$u'=ky'$$ y: $$u''=ky''\Rightarrow y''=\frac{u''}{k}$$ Insertar en $(1)$ : $$\frac{mu''}{k}+u=0\Rightarrow u''+\frac{k}{m}u=0$$ Ahora sustituye: $$\omega^2=\frac{k}{m}$$ Pues eso: $$u''(t)+\omega^2u(t)=0$$ Que es la ecuación dif. clásica de un oscilador armónico y tiene la solución: $$u(t)=A\cos(\omega t+\varphi)$$ Dónde $A$ es la amplitud y $\varphi$ el ángulo de fase. Las condiciones iniciales son: $$y(0)=A\text{ and }y'(0)=0$$ Sustituyendo hacia atrás obtenemos:
$$y(t)=\frac{1}{k}\Big(A\cos(\omega t+\varphi)-mg\Big)$$ Utilizando la primera condición inicial podemos demostrar ahora que: $$A=\frac{1}{k}(A\cos\varphi-mg)$$ $$kA=A\cos\varphi-mg$$ $$(k-\cos\varphi)A=-mg$$ $$A=\frac{-mg}{k-\cos\varphi}$$ Así que podemos escribir: $$y(t)=-\frac{mg}{k(k-\cos\varphi)}\cos(\omega t+\varphi)-\frac{mg}{k}$$ (No necesitamos determinar el valor de $\varphi$ aquí)
La velocidad (aquí como valor absoluto) viene dada por:
$$|y'(t)|=|\frac{\text{d}y(t)}{\text{d}t}|$$ Lo que da: $$|y'(t)|=|\frac{mg\omega}{k(k-\cos\varphi)}\sin(\omega t+\varphi)|$$ Esto alcanza un máximo para $(\omega t+\varphi)=n\frac{\pi}{2}$ con $n=1,3,5,...$ porque entonces el $\sin$ se convierte en $1$ .
O: $$\boxed{|y'(t)|_{max}=\frac{mg\omega}{k(k-\cos\varphi)}}$$ Por lo tanto, la velocidad máxima depende efectivamente de $g$ .
En un sentido simple, esto es bastante fácil de entender. Para un oscilador genérico: $$y(t)=A\cos(\omega t+\varphi)$$ la velocidad máxima es de hecho $\omega A$ . Sucede que en nuestro caso $A$ depende de $g$ .
