En el libro de Hartle "Introducción a la relatividad general", dice que los caminos rectilíneos entre dos puntos separados por el tiempo son los más largos. Utiliza esto en el caso de la paradoja de los gemelos, donde el observador en movimiento no tiene un camino recto entre los mismos puntos, por lo que su "distancia" o el tiempo propio es más corto. Esto se entiende claramente utilizando la fórmula de dilatación del tiempo, pero ¿cómo son más largas las rectas en el espacio no euclidiano? Cualquier explicación geométrica o matemática serviría.
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La "distancia" entre dos puntos (eventos) en el espacio-tiempo viene dada por,
$ds^2 = dt^2-d\bar{x}^2$
Dónde $d\bar{x}^2$ es la parte espacial del espacio-tiempo. Ahora bien, moviéndose en una línea recta temporal, siempre se puede elegir una coordenada tal que esta parte espacial sea cero. Y entonces en esa coordenada $ds^2 = dt^2$ . Ahora, para cualquier otro camino entre estos dos eventos el término extra $d\bar{x}^2$ viene con un signo negativo y por lo tanto disminuye la distancia. Así, la distancia más larga será la de la línea recta.
0celo7
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La "longitud" es la longitud lorentziana: Para una línea del mundo $\gamma$ con velocidad $v^\mu$ tenemos $L(\gamma)=\int \sqrt{-g_{\mu\nu}v^\mu v^\nu}\,dt$ . Una geodésica es un punto crítico del funcional de longitud. Para ver que una geodésica (línea recta) no es un mínimo, tenemos que demostrar que hay una curva cercana con una longitud más corta. Esta construcción es estándar: Podemos perturbar $\gamma$ ligeramente para hacerlo "casi espacial", lo que disminuye la longitud total ya que $g_{\mu\nu}v^\mu v^\nu$ se acerca arbitrariamente a $0$ . Para ello, podemos hacer un zig-zag de una curva muy cercana a $\gamma$ para que cada parte "recta" esté muy cerca de ser nula. Esto falla claramente en el caso euclidiano/riemanniano. Si no hay ningún punto conjugado a lo largo de la geodésica, entonces ésta es de hecho un máximo de longitud.
