Demuestre que si $f$ es uniformemente continua y si $|p_n-q_n|\to 0$ entonces $|f(p_n)-f(q_n)|\to 0$ .

Question

Si $f$ es uniformemente continua en un conjunto $D$ , demuestre que tiene la propiedad de que si $p_n,q_n\in D$ y $|p_n-q_n|\to 0$ entonces $|f(p_n)-f(q_n)|\to 0$ .

Esta pregunta es un problema sugerido por mi profesor pero no pude hacerlo. Desde $f$ es uniformemente continua, para cada $\epsilon>0$ podemos encontrar $\delta>0$ tal que para cada $p_n,q_n\in D$ , $|p_n-q_n|<\delta$ implica $|f(p_n)-f(q_n)|<\epsilon$ . Tenemos que mostrar como $\delta \to 0$ tenemos $\epsilon \to 0$ . Pero, ¿podemos cambiar nuestro delta al azar para el mismo épsilon? Estoy confundido en este punto porque delta depende de epsilon. Cualquier ayuda es muy apreciada.

Answer 1

Dejemos que $\epsilon>0$ dado.

$f $ es uniformemente continua en $D $

así

$$ \exists \eta>0 \; : \;\forall x,y\in D $$

$$|x-y|<\eta\implies |f (x)-f (y)|<\epsilon $$

por otro lado

$$\exists N\in\mathbb N :$$ $$n>N \implies |p_n-q_n|<\eta $$

así

$$n>N\implies |f (p_n)-f (q_n)|<\epsilon $$

lo que significa que

$$\lim_{n\to\infty}(f (p_n)-f (q_n))=0.$$