Ayuda con la definición de colector liso n-dimensional

Question

De nuevo, estoy leyendo este . Me resulta un poco difícil entender la definición de n-dimensional smooth manifold .

Ahora,

$\{U_a; x^1_a, x^2_a, ..., x^n_a\}$ ----(1)

¿Es la cosa (1) un conjunto? (Creo que no lo es).

¿Es una tupla?

Además, ¿es $U_a$ ¿un conjunto o un conjunto de conjuntos? ¿Cuál es el significado del subíndice $a$ ?

Me gustaría mucho que alguien explicara la definición más fácil de entender. Con buenos ejemplos.

Answer 1

Esto está en las notas. $\{ U_a \}$ es una cubierta abierta de $M$ . Se trata de un conjunto en el que cada elemento $U_a$ es un subconjunto abierto de $M$ . El $a$ se utiliza como índice para este conjunto; por lo que sería útil haber puesto $a\in A$ , digamos, en su caso.

Cada $x_a^i$ es una función de coordenadas en el conjunto abierto $U_a$ (para un determinado $a$ ).

Las notas dan un ejemplo de la esfera unitaria que tiene una cubierta abierta que consiste en dos subconjuntos abiertos.

Answer 2

En la situación suave, se puede poner el conjunto abierto sólo una parte común de R^n en cualquier parte del pliegue principal con el difeomorfismo, que mantiene el rango completo. La esfera es un buen ejemplo básico, se puede reducir el mapeo difeomórfico, pero para muchas otras figuras es complicado.