¿Por qué es $\operatorname{Hom}(M,N)$ no necesariamente un $R$ módulo?

Question

Deje $R$ ser un anillo, y $M,N$ dejarse $R-$módulos. Entonces no es cierto que $Hom_R(M,N)$ tiene la estructura de una $R$-módulo?

Estaba leyendo el prefacio de la Álgebra Homológica libro por Rotman y estaba muy sorprendido al enterarse de que este no es el caso. Creo que todos los axiomas de ser un módulo son satisfechos por $\operatorname{Hom}_R(M,N)$, pero Rotman es muy poco probable cometer un error. ¿Qué es lo que me estoy perdiendo?

¿Bajo qué circunstancias es esto cierto?

Answer 1

Esto es cierto si $R$ es conmutativa.

De lo contrario, decir que se trata de la izquierda $R$-módulos, por ejemplo. Si se intenta definir la multiplicación por $r$ $(rh)(m) = rh(m)$ para cualquier homomorphism $h \colon M \to N$, entonces te encuentras con el problema de que la asignación de $rh$ puede no ser $R$-lineal.

Por ejemplo, supongamos $h \colon R \to R$ ser el mapa de identidad. A continuación,$k(s) = (rh)(s)$$rs$. Pero en general, $k(s1) = rs \ne sr = sk(1)$.

Answer 2

Presumiblemente, usted querrá definir $\psi=r.\phi$ por $$\psi(m)=r.\phi(m)$$ (donde$r\in R, \phi\in\mathrm{Hom}_R(M,N)$$m\in M$.) Sin embargo, este mapa, que es una de morfismos de abelian grupos, no tiene que ser $R$-lineal al $R$ no es conmutativa : $R$-linealidad implica que para todos los $r'\in R$ (y todos los $m\in M$) $\psi(r'.m)=r'.\psi(m)$, es decir, por $R$-linealidad de $\phi$, $$rr'.\phi(m)=r'r.\phi(m)$$ Desde $rr'\neq r'r$ en general, no hay ninguna razón por encima de la identidad deben tener.

Answer 3

Cualquier definición natural de $R$-acción sólo funciona, al $R$ es conmutativa. Por ejemplo, si intenta definir $$ (rf)(m)=r(f(m)) $$ para todos $r\in R$, $f\in Hom_R(M,N)$, $m\in M$, a continuación, la asignación de $rf$ no se homomorphism de $R$-módulos en general. Si $s\in R$ es tal que $sr\neq rs$, luego $$ (rf)(sm)=r(f(sm))=r(sf(m))=(rs)(f(m))\neq s((rf)(m)) $$ en general.

OTOH, si uno de los módulos, $M$ o $N$ $(R,R)$- bimodule, luego te dan una estructura de módulos.

Answer 4

¿Qué acción de el anillo de $R$ qué se puede esperar en $\operatorname{Hom}_R(M, N)$? La izquierda de la acción de $R$ $M$ $N$ es "utilizado" cuando se considera $R$-lineal homomorphisms $$ \operatorname{Hom}_R(M, N) \subseteq \operatorname{Hom}_{\Bbb{Z}}(M, N). $$

Si $M$ es de hecho una $(R, R)$-bimodule (esto es automático si $R$ es conmutativa), entonces el derecho de acción de $R$ $M$ los rendimientos de una a la izquierda de la acción de $R$ $\operatorname{Hom}_R(M, N)$ a través de $$ (rf)(m) = f(rm). $$

Por otro lado, si $N$ $(R, R)$- bimodule, entonces el derecho de acción de $R$ $N$ de los rendimientos de un derecho de acción de $R$ $\operatorname{Hom}_R(M, N)$ a través de $$ (fr)(m) = f(m)r. $$

Por supuesto, si ambos $M$ $N$ son bimodules, a continuación, $\operatorname{Hom}_R(M, N) $ es un bimodule, así.