Por lo tanto, dejo que a,b sean elementos de tal grupo. Entonces |a|=n y |b|=m, n y m son finitos. Pero |ab| tiene que ser infinito, pero como |ab|=lcm(n,m), ¿cómo puede ser eso posible?
Considere el grupo de todas las permutaciones de $\mathbb{Z}$ grupo de permutación en $\geq 3$ letras es siempre no abeliana.
Considere $\sigma(x)=-x+1$ y $\tau(x)=-x+2$ las dos permutaciones de $\mathbb{Z}$ .
Demostrar que $\tau\circ\tau=\sigma\circ\sigma=I$ Por lo tanto, el orden de $\sigma,\tau$ es $2$ .
Encuentre $\sigma\circ \tau$ .
¿Es de orden finito?
Intento imaginar una rotación de orden infinito. Creo que la rotación a través de un número irracional de grados, o un número racional de radianes funcionaría, ¿verdad?
Sí. Por cierto, otro caso interesante es cuando las reflexiones son en líneas paralelas, lo que da una traslación (ver respuesta de Grupos).
@safaqfwrq ¿Sabes cómo definir los grupos a través de generadores y relaciones - es decir, ¿está usted familiarizado con la notación como " $\langle a, b\vert a^2, b^2\rangle$ "?
Esto es, en cierto sentido, un replanteamiento de la cuestión: es cierto que si $a^2 = 1$ y $b^2 = 1$ entonces $ab$ tiene un orden infinito si es verdadera en este ejemplo universal. Así que todavía no has respondido a la pregunta. Estás usando implícitamente el hecho de que crees que sabes cómo resolver el problema de palabras en este grupo...
Las matrices, invertibles son un grupo bajo la multiplicación y aquí es un buen ejemplo
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El resultado que cita no es correcto. En un Abeliano grupo, el orden de $ab$ es $\le$ el lcm de las órdenes de $a$ y $b$ .
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Algunos puestos relacionados: Ejemplo de un grupo en el que $o(a)$ y $o(b)$ son finitos pero $o(ab)$ es infinito y Ejemplos y otros resultados sobre el orden del producto de dos elementos de un grupo
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¿De dónde viene este problema? ¿Es de un libro? ¿De una tarea?