Estoy tratando de encontrar una solución para lo siguiente
\begin{eqnarray} \text{minimize }~~ -\sum_{i=1}^K \frac{1}{a_i+b_i2^{(-2x_i)}} \\ \text{s.t.} ~~~ \sum_{i=1}^Kx_i=C \end{eqnarray}
donde $a_i,b_i,x_i\geq 0$ .
cuando compruebo la convexidad requiere $b_i < a_i 2^{(2x_i)}$ o $x_i>log_2(\sqrt{b_i/a_i})$ .
aplicando las condiciones KKT se obtiene una solución como la siguiente
\begin{eqnarray} x_i^*=\frac 12\cdot log_2\left({\frac{b_i}{\lambda-2a_i-\sqrt{\lambda^2-4\lambda a_i}}}\right) \end{eqnarray} donde $\lambda$ es algún multiplicador de Lagrange.
Tengo dos preguntas:
1- si todos $x_i^*$ satisfacen la restricción $x_i^*>log_2(\sqrt{b_i/a_i})$ ¿puedo afirmar que la solución es óptima?
2-¿Qué pasa si algunos de $x_i^*$ violan la restricción $x_i^*>log_2(\sqrt{b_i/a_i})$ ? Si no es así, ¿cuál es la solución óptima?
mis simulaciones corroboran que la solución proveniente de KKT es óptima para todos los escenarios, pero estoy confundido con las matemáticas.
