Aplicación de una función de densidad a una secuencia de variables aleatorias UI convergentes a.s.

Question

Una secuencia de variables aleatorias $\{X_n\}$ en $[0,1]$ converge a una constante $c\in (0,1)$ casi con seguridad. La secuencia también es uniformemente integrable.
Dejemos que $p$ sea una función de densidad de probabilidad sobre $[0,1]$ que es continua y suave en $(0,1)$ . Entonces $p(X_n)\to p(c)$ a.s.

¿Es cierto que $\mathbb{E}[p(X_n)]\to p(c)$ ?

Si $p$ está acotado el resultado es trivial, sin embargo $p$ podría explotar en $0$ o $1$ . Bastaría con demostrar que la secuencia $p(X_n)$ es uniformemente integrable pero no lo he conseguido. En particular estoy interesado en demostrar este resultado para una secuencia de variables aleatorias Beta: $X_n=Beta(nx,n(1-x))$ que converge casi con seguridad a $x\in(0,1)$ . Me parece que este problema no debería ser muy difícil de resolver, pero estoy atascado.

Answer 1

No, no lo es. Toma $$p(x) =C \frac{1}{\sqrt{x}} 1_{(0,1)}(x)$$ para una constante de normalización $C>0$ tal que $p$ es una función de densidad de probabilidad. En $\Omega=(0,1)$ (con medida de Lebesgue) considere $$X_n(\omega) := \begin{cases} \frac{1}{n^4}, & \omega \in (0,\frac{1}{n}), \\ \frac{1}{2}, & \omega \in [\frac{1}{n},1), \end{cases}$$ entonces $X_n \to \frac{1}{2}$ casi seguro. Por otro lado,

$$\mathbb{E}p(X_n) = C n^2 \frac{1}{n} + C \sqrt{2} \left(1-\frac{1}{n} \right)$$

y así

$$\lim_{n \to \infty} \mathbb{E}p(X_n) = \infty \neq C \sqrt{2} = p(\frac{1}{2})$$