Integral de la $\sqrt{x^3 + 8}$?

Question

Tengo problemas para la solución de la siguiente integral:

$$\int\sqrt{x^3+8}~dx$$

Traté de sustitución e integración por partes, pero con la no utilización. Supongo que tengo que usar algunos trigonométricas sustitución.

¿Alguien puede ayudar a resolver esta integral?

Answer 1

Para cualquier número real de $x$ ,

Al $|x|\leq2$ ,

$\int\sqrt{x^3+8}~dx$

$=\int2\sqrt2\sqrt{\dfrac{x^3}{8}+1}~dx$

$=\int\sum\limits_{n=0}^\infty\dfrac{2\sqrt2(-1)^n(2n)!x^{3n}}{8^n4^n(n!)^2(1-2n)}dx$

$=\int\sum\limits_{n=0}^\infty\dfrac{2\sqrt2(-1)^n(2n)!x^{3n}}{32^n(n!)^2(1-2n)}dx$

$=\sum\limits_{n=0}^\infty\dfrac{2\sqrt2(-1)^n(2n)!x^{3n+1}}{32^n(n!)^2(1-2n)(3n+1)}+C$

Al $|x|\geq2$ ,

$\int\sqrt{x^3+8}~dx$

$=\int x^\frac{3}{2}\sqrt{1+\dfrac{8}{x^3}}~dx$

$=\int x^\frac{3}{2}\sum\limits_{n=0}^\infty\dfrac{(-1)^n(2n)!8^n}{4^n(n!)^2(1-2n)x^{3n}}dx$

$=\int\sum\limits_{n=0}^\infty\dfrac{(-1)^n(2n)!2^nx^{\frac{3}{2}-3n}}{(n!)^2(1-2n)}dx$

$=\sum\limits_{n=0}^\infty\dfrac{(-1)^n(2n)!2^nx^{\frac{5}{2}-3n}}{(n!)^2(1-2n)\left(\dfrac{5}{2}-3n\right)}+C$

$=\sum\limits_{n=0}^\infty\dfrac{(-1)^n(2n)!2^{n+1}}{(n!)^2(2n-1)(6n-5)x^{3n-\frac{5}{2}}}+C$