¿En qué sentido una función sobre un círculo es lo mismo que una $2 \pi$ función periódica en $\mathbb{R}$ ?

Question

Estaba leyendo el apéndice del Análisis de Fourier de Elias M Stein y antes de demostrar el lema de aproximación el autor menciona lo siguiente

Recordemos que una función sobre una circunferencia es lo mismo que una $2 \pi$ función periódica en $\mathbb{R}$ ¿Podría alguien explicarme qué significa exactamente esto y en qué coinciden las funciones?

Answer 1

Lo que se quiere decir aquí es que cualquier $2\pi$ -función periódica $f : \Bbb{R} \to \Bbb{C}$ da lugar a una función bien definida

$$ g : S^1 \to \Bbb{C}, e^{i x} \mapsto f(x). $$

Obsérvese que esto está bien definido, porque $e^{i x } = e^{i y}$ implica $x-y \in 2\pi \Bbb{Z}$ y por lo tanto $f(x) = f(y)$ porque $f$ es $2\pi$ -periódico.

A la inversa, cualquier función $g : S^1 \to \Bbb{C}$ produce un $2\pi$ -función periódica

$$ f : \Bbb{R} \to \Bbb{C}, x \mapsto g(e^{i x}). $$

Por último, debe comprobar que las dos "transformaciones" $f \mapsto g$ y $g \mapsto f$ definidos anteriormente son inversa entre sí.

Por lo tanto, hemos construido un identificación entre ambas clases de funciones.

Answer 2

He aquí una explicación más abstracta. Esto es realmente un ejemplo de la propiedad universal de una construcción de cociente. El grupo del círculo $$S^1 := \{ z \in \mathbb{C} \mid |z|=1 \}$$ puede identificarse como el cociente $S^1=\mathbb{R}/\mathbb{Z}$ , donde el mapa cociente es $\theta \mapsto e^{2\pi i\theta}$ . En otras palabras, para los números reales $r, r' \in \mathbb{R}$ tenemos una relación de equivalencia $r \sim r'$ si y sólo si $r-r' = n$ para algún número entero $n \in \mathbb{Z}$ .

Por la propiedad universal de un cociente, cualquier función sobre $\mathbb{R}$ que es compatible con la relación de equivalencia (en el sentido de producir el mismo resultado cuando las entradas son equivalentes bajo la relación) corresponde biyectamente a una función sobre el círculo. En otras palabras, cualquier función con periodo 1 en $\mathbb{R}$ corresponde a una función sobre $S^1$ .

Pero ¿qué pasa con una función en $\mathbb{R}$ con el período $T$ ? Bueno, podemos elegir un mapa de cociente diferente $\mathbb{R} \to S^1$ , a saber $\theta \mapsto \exp(\frac{2\pi i}{T} \theta)$ . Y de nuevo, obtenemos una correspondencia biyectiva entre funciones sobre $S^1$ y las funciones con periodo $T$ en $\mathbb{R}$ .

Answer 3

Consideremos una circunferencia de algún radio r con centro en el origen (0,0).

Cualquier círculo puede ser descrito totalmente por dos parámetros en x e y en el espacio bidimensional.

por lo que si se considera lo contrario viene dado por $$y=r*sin(\theta)$$

y si se considera el adyacente está dado por $$x=r*cos(\theta)$$

lo que implica

$$x^2+y^2=r^2$$

que no es más que la ecuación de un círculo.

Ambas funciones trigonométricas sen y cos tienen un período de $2 \pi$ .

(el centro del círculo se toma en el origen simplemente para facilitar la explicación)

Así que las funciones aquí son y y x que tiene el mismo período que el de 2 $\pi$

Answer 4

El círculo de radio 1 viene dado por las ecuaciones paramétricas $ (x,y) = (\cos \theta, \sin \theta), \theta \in [0,2\pi[)$ por lo que una función $f$ definida en el círculo es una función $f(x,y) = f(\cos \theta, \sin \theta) = g(\theta)$ con $ g:[0,2\pi) \rightarrow R $ para una determinada y única $g$ .

La periodicidad se desprende del hecho de que tanto $\sin $ y $\cos$ son periódicos, por lo que $g(\theta + 2\pi) = g(\theta)$ para cada $\theta$ .