Soy un estudiante de tercer año de matemáticas que está escribiendo un trabajo trimestral sobre la geometría hiperbólica y me gustaría entender su relación con la relatividad especial. He leído que el modelo hiperboloide de la geometría hiperbólica, también conocido como modelo de Minkowski, tiene lugar en el espacio de Minkowski (que no entiendo bien) que es también el escenario más conveniente para formular la teoría de la relatividad especial de Einstein. ¿Puede alguien aclararme esto? Se me ha señalado que la velocidad en la relatividad especial es un punto en el espacio hiperbólico, por lo que me gustaría utilizar técnicas y fórmulas de la geometría hiperbólica para discutir cosas en la relatividad especial.
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
La conexión aquí es la Espacio de Minkowski que puede utilizarse para describir ambos.
Geometría hiperbólica
Por ejemplo, tomemos el espacio 2 hiperbólico en el modelo hiperboloide . Se representarían los puntos hiperbólicos como puntos del hiperboloide, es decir, como
$$\left\{(x_1,x_2,x_3)^T\;\middle|\;x_1^2-x_2^2-x_3^2=1\right\}$$
Esta expresión $x_1^2-x_2^2-x_3^2$ es la forma cuadrática que se encuentra en la base del espacio de Minkowski $\mathbb R^{1,2}$ . La forma bilineal correspondiente puede utilizarse para calcular las distancias, como
$$d(x,y)=\operatorname{arcosh}\left(x_1y_1-x_2y_2-x_3y_3\right)$$
Incluso se puede pensar en esto de forma proyectiva: se puede utilizar un vector que no esté en el hiperboloide, y luego utilizar ese vector para definir una línea que intersecará el hiperboloide en un punto determinado, que es el punto que especifica. Esto funcionará para cualquier vector cuya forma cuadrática sea positiva.
Esta idea también es muy útil para definir líneas. Una línea hiperbólica (es decir, una geodésica) que conecta dos puntos hiperbólicos se modela mediante la intersección entre el hiperboloide y un plano abarcado por estos dos puntos y el origen. Se puede describir este plano por su vector normal, y se puede calcular ese vector normal como el producto cruzado de dos vectores que representan los dos puntos. A la inversa, se puede obtener la intersección entre dos geodésicas calculando el producto cruzado entre dos vectores normales de dichos planos, aunque la forma cuadrática de ese punto probablemente no será $1$ sino cualquier otro valor positivo. Por tanto, este vector normal del plano es una representación razonable (y homogénea) de la recta. Su forma cuadrática será negativa.
Vocabulario común
Ahora cambia el vocabulario para utilizar términos que son comunes para los espacios de Minkowski. Un vector cuya forma cuadrática es positiva se dice que es semejante al tiempo. Así, los puntos del plano hiperbólico corresponden a vectores semejantes al tiempo, y los múltiplos escalares de un vector representan el mismo punto. Asimismo, un vector cuya forma cuadrática es negativa se denomina espacial. Así, una línea en geometría hiperbólica corresponde a un vector espacial y a todos sus múltiplos. Entre estos dos, están los vectores para los que la forma cuadrática es cero. Estos corresponden a los puntos ideales de su geometría. en cierto sentido, un punto ideal es tanto una línea como un punto.
El conjunto de isometrías hiperbólicas son aquellas transformaciones lineales de tu espacio vectorial que preservan el conjunto de puntos ideales, es decir, que preservan el cono de luz. Estas corresponden aproximadamente a las transformaciones de Lorentz en el vocabulario relativista (con cierto cuidado porque aquí identificamos los múltiplos escalares pero allí no, pero la idea central de preservar el cono de luz se mantiene).
Geometría relativista
Entonces, ¿de dónde vienen estos términos que suenan físicamente? Imaginar todo el espacio vectorial como una especie de diagrama espacio-tiempo debería ser bastante sencillo. La primera dimensión (con el signo positivo) sería el tiempo, las otras dos serían el espacio. Un vector denotaría un evento en este diagrama. Un suceso en el que todas las coordenadas espaciales son cero ocurriría en el mismo lugar que el origen, pero en un momento diferente. Un suceso con coordenadas temporales cero ocurriría en el mismo momento pero en algún otro lugar. El cono de luz correspondería a un cono de pendiente $1$ que es la velocidad de la luz en nuestro sistema de coordenadas. La luz viaja desde el origen a lo largo del cono de luz.
Pero el tiempo y el espacio son relativos, por lo que la elección anterior del sistema de coordenadas sólo es válida para un sistema inercial determinado. Para convertir entre sistemas inerciales que se encuentran en el origen, se utilizaría de nuevo una transformación de Lorentz, es decir, una transformación que preserva el cono de luz. Con esta transformación, cualquier suceso que se encuentre a una distancia similar a la del tiempo desde el origen puede suceder en el mismo lugar pero en el pasado o en el futuro. Se utilizaría un sistema inercial que viajara a ese suceso o viniera de él. Del mismo modo, cualquier acontecimiento que se encuentre a una distancia similar a la del espacio puede hacerse ocurrir en el mismo momento, utilizando el movimiento adecuado para compensarlo.
Conclusión:
Así, las conversiones entre sistemas inerciales corresponden a transformaciones isométricas del espacio hiperbólico. Y los objetos en el espacio hiperbólico corresponden a (clases de equivalencia de) eventos en los diagramas espacio-temporales.
Lo anterior se generalizaría para dimensiones superiores, pero la parte de dos puntos que abarcan una línea sería más complicada de leer, ya que se hablaría más bien de tres puntos que abarcan un plano. $ $ $ $
