En cuanto a la primera pregunta, una forma sencilla de convencerse de que la multiplicación de campos en el lagrangiano corresponde a un acoplamiento es pensar en la mecánica de partículas. Consideremos el lagrangiano para dos masas $m_1$ , $m_2$ acoplados por un muelle ideal (en una dimensión para simplificar): \begin{align} L = \frac{1}{2}m_1 \dot{q}_1^2 + \frac{1}{2}m_2 \dot{q}_2^2 - \frac{1}{2}k(q_1 - q_2)^2 \end{align} Ampliando el término potencial obtenemos \begin{align} L = \frac{1}{2}m_1 \dot{q}_1^2 + \frac{1}{2}m_2 \dot{q}_2^2 - \frac{1}{2}k q_1^2 - \frac{1}{2}k q_2^2 + k q_1 q_2. \end{align} Vemos que es lo mismo que la suma de los lagrangianos para dos masas independientes sobre muelles, más un término de interacción en el que se multiplican las coordenadas de las dos masas: \begin{align} L &= L_1 + L_2 + L_{\text{int}}\\ L_1 &= \frac{1}{2}m_1 \dot{q}_1^2 - \frac{1}{2}k q_1^2\\ L_2 &= \frac{1}{2}m_2 \dot{q}_2^2 - \frac{1}{2}k q_2^2\\ L_{\text{int}} &= k q_1 q_2. \end{align} De hecho, está justificado llamar a esto un término de interacción, porque hace todo el trabajo de acoplar las ecuaciones de Euler-Lagrange de las dos masas. Sin el término de interacción, nuestras ecuaciones EL serían las de dos osciladores armónicos independientes: \begin{align} \ddot{q}_1 + \frac{k}{m_1}q_1 = 0\\ \ddot{q}_2 + \frac{k}{m_2}q_2 = 0 \end{align} Con el término de interacción, obtenemos un sistema acoplado de osciladores: \begin{align} \ddot{q}_1 + \frac{k}{m_1}(q_1 - q_2) = 0\\ \ddot{q}_2 + \frac{k}{m_2}(q_2 - q_1) = 0. \end{align} Hice esto para partículas puntuales con el fin de ponerlo en una base más familiar, pero es un ejercicio fácil hacer lo mismo con la densidad lagrangiana para, digamos, dos campos escalares reales $\varphi_1$ , $\varphi_2$ .
Llegados a este punto, podrías decir (al menos eso espero) "Vale, esto tiene sentido si estamos hablando de dos campos diferentes que interactúan, pero ¿por qué llamar a un término como $\varphi^3$ una interacción si sólo tenemos un único campo". Una forma de justificar que se llamen términos de interacción es señalar que conducen a no linealidades en las ecuaciones de movimiento clásicas. De nuevo, volvamos a un ejemplo conocido: la densidad lagrangiana para las oscilaciones transversales de una cuerda. Es \begin{align} \mathscr{L} = \frac{1}{2}(\partial_t \varphi)^2 - \frac{1}{2} (\partial_x \varphi)^2, \end{align} y por supuesto la ecuación de movimiento es la ecuación de onda \begin{align} \partial_t^2 \varphi - \partial_x^2 \varphi = 0. \end{align} (He empezado a omitir algunas constantes dimensionales).
Como la ecuación de onda es lineal, sus soluciones obedecen al principio de superposición. Una consecuencia de esto es que si creamos dos pulsos de onda en una cuerda que se mueven el uno hacia el otro, cuando lleguen al mismo punto cada uno "pasará a través" del otro, y luego continuará por su cuenta sin ser molestado. En otras palabras, los paquetes de ondas no interactúan porque obedecen a una ecuación de movimiento lineal. Si sometemos cada punto de la cuerda a una fuerza lineal restauradora, añadimos un $\varphi^2$ a la densidad del lagrangiano y terminamos con la ecuación de Klein-Gordon como nuestro eom, que es dispersivo pero sigue siendo lineal. Sin embargo, si añadimos un $\phi^3$ a nuestra densidad lagrangiana, \begin{align} \mathscr{L} = \frac{1}{2}(\partial_t \varphi)^2 - \frac{1}{2} (\partial_x \varphi)^2 + \frac{g}{6} \varphi^3 \end{align} nuestro eom clásico se convierte en \begin{align} \partial_t^2 \varphi - \partial_x^2 \varphi - \frac{g}{2} \varphi^2 = 0. \end{align} Ahora tenemos una ecuación de movimiento no lineal, y ya no podemos superponer soluciones.
Por supuesto, todo esto es a nivel clásico, y es necesario algún trabajo adicional para decir lo que sucede cuando cuantificamos. Pero una vez que descubrimos cómo hacer la teoría de perturbaciones, los diagramas de Feynman nos dan una representación pictórica sencilla de los términos de interacción en nuestros lagrangianos.
