Encontrar todos los enteros positivos $n$ que $(n-1)!+1$ es una potencia de $n$

Question

Como dice el título,

Encontrar todos los enteros positivos $n$ que $(n-1)!+1$ es una potencia de $n$.

Las soluciones que he encontrado son los $\{2,3,5\}$ (gracias Brandon!), pero estoy teniendo dificultades para demostrar que estos son los únicos. Lo que he conseguido hasta ahora es que el $n$ debe ser prime desde $(n-1)!+1$ no sería congruente a $n$ si $n$ fueron compuestas.

Answer 1

Bueno, para los números primos $p < 1290,$ aquellos para los que $$ 1 + (p-1)! \equiv 0 \pmod{p^2}$$ son las tres $$\{ 5, \; \; 13, \; \; 563 \}$$

Tan pronto como $p \geq 7,$ tenemos $(p-1)! > p^3,$, por lo que necesitamos $ 1 + (p-1)! \equiv 0 \pmod{p^3},$ y, de hecho, $ 1 + (p-1)! \equiv 0 \pmod{p^4}.$ Bastante raro.

Answer 2

Esto es realmente un problema antiguo en ML. Tenga en cuenta que, la ecuación no es para los números primos $>5$ que es de hecho el Liouvilles'theorem