El teorema de suspensión de Freudenthal establece en particular que el mapa $$ \pi_{n+k}(S^n)\to\pi_{n+k+1}(S^{n+1}) $$ es un isomorfismo para $n\geq k+2$ .
Mi pregunta es: ¿Cuál es la intuición que hay detrás de la demostración del teorema de suspensión de Freudenthal?
Quizás esta forma topológica diferencial de pensar la suspensión Freudenthal sea mucho más intuitiva. Por la construcción de Pontrjagin se puede identificar $\pi_{n+k}(S^n)$ con clases de equivalencia de submanifolds enmarcados $(N,\nu)$ de $S^{n+k}$ . La imagen de esta clase bajo el homomorfismo de suspensión de Freudenthal es simplemente el submanifold enmarcado $(N,\tilde{\nu})$ donde identificamos $S^{n+k}$ con el ecuador de $S^{n+k+1}$ y el marco $\tilde{\nu}$ se obtiene mediante $\nu$ simplemente "añadiendo" a $\nu$ el marco normal canónico de $S^{n+k}$ en $S^{n+k+1}$ . El hecho de que el mapa sea un isomorfismo para $n>k+1$ ahora se puede conseguir mediante argumentos de posición general.
Hay dos pruebas que me gustan especialmente:
Una prueba morse-teórica, probablemente debida a Bott, puede encontrarse en el libro de Milnors. Idea: considere el espacio de todos los caminos en $S^n$ del polo norte al polo sur, que es homotópicamente equivalente a $\Omega s^n$ . Existe la función de energía en este espacio. Se hace la teoría de Morse: los puntos críticos corresponden a las geodésicas (no son no-degeneradas, pero Bott demostró que buena parte de la teoría de Morse funciona a pesar de todo). El conjunto de los mínimos absolutos es el espacio de las geodésicas mínimas que conectan los polos. Es homeomorfo a $S^{n-1}$ . Todos los demás puntos críticos tienen índice al menos (rouhgly) $2n$ . Por lo tanto, la inclusión del conjunto de mínimos absolutos en todo el espacio es $2n$ -conectado.
Una prueba de secuencia espectral (véase Kirk, Davis, Lectures on Algebraic topology). Consideremos la secuencia espectral de homología de Leray-Serre de la fibración camino-bucle $\Omega S^n \to PS^n \to S^n$ . El espacio total $P S^n$ es contraíble. Observa la forma de la secuencia espectral; verás que para $k \leq 2n$ (de nuevo, sólo una estimación aproximada), todos los diferenciales fuera del $E_{k,0}$ -son cero, excepto la última, que da un isomorfismo $H_k (S^n)=E_{k,0}^{2} \to E_{0,k-1}^{2} = H_{k-1} (\Omega S^n)$ . Es creíble (pero no trivial de demostrar, esto utiliza el teorema de la transgresión) que este isomorfismo es el mismo que la composición $H_k (S^n) \cong H_{k-1} (S^{n-1}) \to H_{k-1} (\Omega S^n)$ del isomorfismo de suspensión y el mapa natural $S^{n-1} \to \Omega S^n$ . Así pues, el mapa natural es un isomorfismo homológico en un rango de grados, y por el teorema de Hurewicz, esto vale también para los grupos homotópicos.
El teorema de Freudenthal es en realidad un caso especial del fenómeno llamado "escisión de homotopía", también conocido como teorema de la tríada Blakers-Massey. La idea es que uno tiene una inclusión $$ (C_-X,X) \to (\Sigma X,C_+X) $$ dada por el encolado de $C_+X$ donde $C_\pm X$ son copias del cono en $X$ . El teorema de Blakers-Massey nos dice que este mapa es $(2r+1)$ -conectado, donde $r$ es la conectividad de $X$ . Además, la inclusión induce el homomorfismo de suspensión en grupos de homotopía.
Existen varias pruebas del teorema de escisión de homotopía. En el caso que nos ocupa, posiblemente la prueba más fácil se da en el documento citado por Jeff Strom en responder a mi pregunta: https://mathoverflow.net/questions/54169 .
Por cierto, en el caso dual se tiene el mapa $\Sigma \Omega X \to X$ . Es algo más fácil comprobar que este último es $(2r+1)$ -conectado. Su fibra homotópica puede identificarse con $\Sigma (\Omega X) \wedge (\Omega X)$ que es $(2r)$ -conectado. Por tanto, el mapa $\Sigma \Omega X \to X$ es $(2r+1)$ -conectado.
El mapa de suspensión $\Sigma: [A, X] \to [\Sigma A, \Sigma X]$ (del que el suyo es un caso especial) es adjunto a un mapa $[A, X] \to [A, \Omega\Sigma X]$ que es inducido por el mapa $\sigma: X\to \Omega\Sigma X$ (adjunto a $\mathrm{id}_{\Sigma X}$ ). Así, la determinación del comportamiento de la operación de suspensión se reduce al estudio del mapa $\sigma$ .
Se puede demostrar que si $X$ es $(n-1)$ -conectado, entonces el mapa $\sigma$ es a $(2n-1)$ -y se deduce que $\Sigma: [A, X] \to [\Sigma A, \Sigma X]$ es una biyección para todos los complejos CW $A$ con $\dim(A)< 2n-1$ .
¿Cómo se demuestra? Un método consiste en examinar la construcción de James; otro es examinar el mapa de comparación $\xi: A\to F$ que surge cuando una secuencia de cofibras $A\to B\to C$ se ha convertido en una secuencia de fibración $F\to B\to C$ .
Editar octubre de 2013: He dado más información sobre el teorema de la tríada Blakers-Massey en el ncatlab aquí refiriéndose específicamente al determinación algebraica del grupo crítico, es decir, el primero que no desaparece. Esto se describe como un producto tensorial de grupos homotópicos relativos y, por supuesto, un producto tensorial es trivial si uno de los factores es trivial. Así obtenemos una visión intuitiva del resultado de conectividad y también del Teorema de Suspensión de Freudenthal. De hecho, ambos se ven como consecuencia de un Teorema de Seifert-van Kampen de homotopía de orden superior.
Respuesta original: La respuesta de John Klein se refiere al teorema de la tríada Blakers-Massey; éste se generalizó a un $n$ -ad teorema de conectividad de Barratt y Whitehead, y del que Goodwillie ha dado una prueba geométrica, utilizando argumentos generales de posición.
En estos resultados hay interés por describir el grupo crítico, un $n$ -ad grupo homotópico, que puede ser no abeliano en general. Algunos casos abelianos han sido descritos por Barratt y Whitehead, siguiendo a Blakers-Massey, con simples supuestos de conectividad.
Este problema se resolvió en el teorema 3.7 de
Ellis, G.J. y Steiner, R. "Higher-dimensional crossed modules and the homotopy groups of $(n+1)$ -ads". J. Pure Appl. Algebra 46 (2-3) (1987) 117--136.
que utiliza crucialmente el Teorema de van Kampen para $n$ -cubos de espacios en
Brown, R. y Loday, J.-L. "Teoremas de Van Kampen para diagramas de espacios", Topología 26~(3) (1987) 311--335. Con un apéndice de M. Zisman.
Por supuesto, los resultados de conectividad se derivan de los resultados algebraicos, pero la prueba en este último documento es por inducción con conectividad en una dimensión que implica surjectividad en la siguiente.
Un punto intuitivo es que la descripción del grupo crítico de un $n$ -ad implicará productos Whitehead generalizados procedentes de sub $r$ - y $s$ -ads del dado $n$ -ad, y un álgebra elaborada (cruzada $n$ -cubos de grupos, según la definición de Ellis-Steiner). Las pruebas no implican posición general en absoluto.
Para una aplicación bastante reciente de estas ideas, véase
Ellis, G.~J. y Mikhailov, R. "A colimit of classifying spaces". Avances en Matemáticas. (2010) arXiv: [math.GR] 0804.3581v1.
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¿Tenía en mente alguna prueba en concreto? Además, creo que hay un error tipográfico en su declaración (considere $n = 1$ , $k = 1$ ). Una afirmación más general es que si $X$ es $n-1$ conectado y $n \ge 2$ entonces el mapa de suspensión $\pi_k(X) \to \pi_{k+1}(\Sigma X)$ es una iso si $k\le 2n-2$ y un epimorfismo si $k\le 2n-1$ en el caso de las esferas, $\pi_{n+k}(S^k) \to \pi_{n+k+1}(S^{k+1})$ es una iso si $n+2 \le k$ .