Si $C$ es el conjunto de Cantor, entonces $C = \text{bd}(C)$ ?

Question

Dejemos que $C$ es el conjunto de Cantor, entonces es cierto que $C = \text{bd}(C)$ ?

Sé que el $C$ es cerrado ya que es la intersección de intervalos cerrados, que siempre es cerrada. Esto significa que $C$ contiene $\text{bd}(C)$ . Para demostrar que $C = \text{bd}(C)$ Tendría que demostrar que $\text{bd}(C)$ contiene $C$ . ¿Cómo debo hacerlo?

Answer 1

Dejemos que $P\in\mathcal C$ y que $B$ una bola centrada en $P$ . Como el conjunto de cantores es perfecto, si $x\in B$ es un elemento del conjunto cantor, entonces, hay $y\in ]x,P[$ s.t. $y$ no está en el set de cantor. Por lo tanto, el interior del conjunto cantor está vacío. Esto demuestra la afirmación.