¿Proceso de Poisson estrictamente acotado por otro?

Question

Consideremos dos procesos aleatorios $X, Y$ . $Y$ es un proceso de Poisson con tasa $\lambda$ . $X$ se comporta como sigue: siempre que $X < Y$ actúa de forma equivalente a un proceso de Poisson con tasa $\lambda$ (independiente de $Y$ ). Siempre que $X = Y$ espera hasta que $Y$ incrementos, de modo que $Y - X = 1$ antes de seguir incrementándose. (En otras palabras, $X$ nunca se permite sobrepasar $Y$ ).

Mi pregunta es: ¿qué se sabe de la distribución de $X$ ? En concreto, ¿alguien puede ofrecer algún límite sobre el tiempo previsto hasta que $X > n$ para un número arbitrario de $n$ ?

Mis simulaciones indican que es aproximadamente el tiempo de llegada de Y más un "retraso" que crece muy lentamente cuando $n$ es muy grande. Este retraso es algo intuitivo: considere el caso en el que tiene un montón de procesos, cada uno de los cuales limita al que está a su izquierda; en ese caso tendría intuitivamente una discrepancia bastante grande entre el proceso más a la izquierda y el más a la derecha.

Answer 1

Fijar un número entero positivo $n$ . Si $T_{ij}$ es el tiempo previsto para $X$ para alcanzar el estado $n$ , dado $(X(t),Y(t))=(i,j)$ , entonces puede detener el $Y$ una vez que alcanza el estado $n$ y se obtiene un espacio de estados de enteros $(i,j)$ para $0\leq i\leq j \leq n$ y ecuaciones \begin{align} T_{ij} &=\frac{1}{2\lambda} + \frac{1}{2}T_{i+1,j} + \frac{1}{2}T_{i,j+1}, \quad 0\leq i<j<n\\ T_{jj}&= \frac{1}{\lambda} + T_{j,j+1} , \quad 0\leq j<n\\ T_{i,n} &= \frac{n-i}{\lambda} , \quad 0\leq i < n\\ T_{nn}&=0\end{align} Puedes resolverlos a mano para números enteros pequeños $n$ para calcular el valor deseado $T_{00}$ .

• $n=1$ : $T_{00} = 2/\lambda$ .

• $n=2$ : $T_{00} = 3.5/\lambda$ .