probando $\min(OR,PR,QR)+OR+PR+QR<OQ+QP+PO$

Question

En la figura se demuestra que $$\min(OR,PR,QR)+OR+PR+QR<OQ+QP+PO$$

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Esta es una forma más fuerte de la desigualdad $OR+PR+QR<OQ+QP+PO$ que se puede demostrar fácilmente.He hecho algunas construcciones en la figura anterior.A partir de eso podemos escribir $$ \frac{RU}{OU}+\frac{RS}{QS}+\frac{RT}{PT} =1$$ También he tratado de utilizar el hecho $$RU<\max(RP,RQ),SR<\max(OR,RP) ...$$

Alguna idea

Answer 1

Digamos que tenemos un punto arbitrario $R$ en el interior del triángulo $\triangle OPQ$ .

WLOG, $\angle PSQ \gt \angle OSQ$ entonces $\triangle PSQ$ es un triángulo de ángulo obtuso y $\angle OSQ \lt 90^0$ (o viceversa). Dibujamos a un delincuente desde el punto $O$ para segmentar $QS$ que se encuentra en el punto $V$ .

También observamos que si $R$ está entre el punto $S$ y $V$ , $\angle ORQ \lt 90^0$ pero $3$ ángulos en el punto $R \, (\angle ORQ, \angle PRQ, \angle PRO)$ hacer $360^0$ . Así que al menos dos de esos ángulos serán $ \gt 90^0$ y elegimos esos dos favorables para nuestra construcción. En este caso asumimos que son $\angle ORQ$ y $\angle PRQ$ .

.

Así que tenemos $PR + QR \lt (PS + SR) + QR = PS + SQ \lt PS + QP$ ...(i)

Ahora, $QR + OR \lt QR + (RV + VO) = QV + VO \lt OQ + OS$ ...(ii)

Si $QS$ es perpendicular a $OP$ ambas desigualdades se mantienen.

Así que de (i) + (ii), tenemos

$OR + PR + QR + QR \lt QP + (PS + OS) + OQ = OQ + QP + PO$

$OR + PR + QR + min(OR,PR, QR) \lt OQ + QP + PO$