Mi pregunta es en el título:
Es $a=0.248163264128…$ trascendental número? El número de $a$ está definido por la concatenación de los poderes de la $2$ (en base $10$).
Es posible expresar $a$ una serie :
$$a = \sum\limits_{n=1}^{\infty} 2^n \cdot 10^{ -\sum\limits_{k=1}^{n} \lfloor{ k \cdot \log_{\,10}\,(2) }\rfloor + 1) } \etiqueta{*}$$
Sé que $a$ es irracional.
Sé que si yo considero que los poderes de la $10$, en lugar de los poderes de la $2$, es decir, si yo considerara $b=0.10100100010000...$, este número es trascendental.
Viendo la serie (*), parece muy difícil establecer la trascendencia de $a$. Sin embargo, es conocido (gracias a Kurt Mahler) que los números como:
$$c = 0.149162536... = \sum\limits_{n=1}^{\infty} n^2 \cdot 10^{ -\sum\limits_{k=1}^{n} \lfloor{ 2 \cdot \log_{\,10}\,(k) }\rfloor + 1) } \etiqueta{**} $$
son trascendentales ($c$ es la concatenación de los cuadrados de los números en base $10$ ; lo mismo ocurre con el tercer poderes y así sucesivamente).
Soy consciente de que esto podría ser un problema difícil. Números similares, como Copeland-Erdős constante, se desconoce a ser trascendental. Yo realmente apreciaría si alguien tenía una referencia acerca de este número $a$, porque yo no encuentro nada que me pudiera ayudar a determinar si $a$ es trascendental, o si todavía es desconocido.
Muchas gracias!
