Es $0.248163264128…$ trascendental número?

Question

Mi pregunta es en el título:

Es $a=0.248163264128…$ trascendental número? El número de $a$ está definido por la concatenación de los poderes de la $2$ (en base $10$).

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Es posible expresar $a$ una serie :

$$a = \sum\limits_{n=1}^{\infty} 2^n \cdot 10^{ -\sum\limits_{k=1}^{n} \lfloor{ k \cdot \log_{\,10}\,(2) }\rfloor + 1) } \etiqueta{*}$$

Sé que $a$ es irracional.

Sé que si yo considero que los poderes de la $10$, en lugar de los poderes de la $2$, es decir, si yo considerara $b=0.10100100010000...$, este número es trascendental.

Viendo la serie (*), parece muy difícil establecer la trascendencia de $a$. Sin embargo, es conocido (gracias a Kurt Mahler) que los números como:

$$c = 0.149162536... = \sum\limits_{n=1}^{\infty} n^2 \cdot 10^{ -\sum\limits_{k=1}^{n} \lfloor{ 2 \cdot \log_{\,10}\,(k) }\rfloor + 1) } \etiqueta{**}$$

son trascendentales ($c$ es la concatenación de los cuadrados de los números en base $10$ ; lo mismo ocurre con el tercer poderes y así sucesivamente).

Soy consciente de que esto podría ser un problema difícil. Números similares, como Copeland-Erdős constante, se desconoce a ser trascendental. Yo realmente apreciaría si alguien tenía una referencia acerca de este número $a$, porque yo no encuentro nada que me pudiera ayudar a determinar si $a$ es trascendental, o si todavía es desconocido.

Muchas gracias!

Answer 1

Yann Bugeaud "Distribución Modulo Uno y Diophantine Aproximación", en la página 221:

Para los números enteros $b \geq 2$$c \geq 2$, vamos a $(c)_b$ denotar la secuencia de dígitos de $c$ en su representación en base $b$. Mahler [471] demostró que el número real $0 (c)_{10}(c^2)_{10} \dots$ es irracional. Posteriormente fue reprendido y extenderse a todos los de la base de $b \geq 2$ por Bundschuh [170] y Niederreiter [539]; véase también [69, 172, 647, 652].

Problema 10.48. Con la anterior notación de demostrar que, por arbitraria enteros $b \geq 2$ e $c \geq 2$, de Mahler número $0 (c)_{b}(c^2)_{b} \dots$ es trascendental y la normal a la base de $b$.

La cuestión de la normalidad de $0.248163264 \dots$ base $10$ ya fue planteada por Pillai [561].

Algunos de los enlaces que he sido capaz de recuperar:

[172] P. Bundschuh, P. J.-S. Shiue y X. Y. Yu, la Trascendencia y algebraica de la independencia conectado con Mahler tipo de números, Publ. De matemáticas. Debrecen 56 (2000), 121-130.

[647] Z. Shan, Una nota sobre la irracionalidad de algunos números, J. Número de La teoría de 25 (1987), 211-212.

[652] Irracionalidad criterios para los números de Mahler tipo. En: La Teoría Analítica De Números De Kyoto (1996), 343-351, Londres Matemáticas. Soc. Conferencia Nota De La Ser., 247, Cambridge University Press, Cambridge, 1997.

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Algunos datos sobre esta serie de mí. Más dígitos:

$$0.2481632641282565121024204840968192163843276865536\dots$$

Simple continuación de la fracción:

$$[0; 4, 33, 1, 3, 2, 565, 3, 5, 1, 10, 1, 43, 1, 1, 1, 1, 3, 1, 4, 1, 1, 3, 2, 3, 3, 2, 1, 1, 3, 5, 1, 16, 1, 15, 1, 2, 1, 3, 1, 3, 3, 327, \dots]$$

Euler tipo continuo fracción:

$$\cfrac{1}{5-\cfrac{5}{6-\cfrac{5}{6-\cfrac{5}{51-\cfrac{50}{51-\cfrac{50}{51-\cfrac{50}{501-...}}}}}}}$$

La probabilidad de un mayor parciales quotent a ocurrir después de una más pequeña en esta fracción es igual a:

$$\frac{\ln 2}{\ln 10}=0.30103 \dots$$

Tenga en cuenta que esta fracción siempre se aproxima al número de abajo, por ejemplo este truncamiento es exactamente igual a $0.248163264128$

Por desgracia, el general fracciones continuas no permitirse ningún conocimiento en el trancendentality de un número, por lo que yo sé.