Diferenciación de $f(x,y)=\frac{\sin^4(x)\sin^4(y)}{x^2+y^2}$ ampliado por $f(0,0)=0$

Question

$f:\mathbb{R}^2\rightarrow \mathbb{R}, (x,y)\mapsto \begin{cases} \frac{\sin^4(x)\sin^4(y)}{x^2+y^2} &\text{if $(x,y) \neq (0,0)$ }\\0&\text{if $ (x,y)=(0,0)$}\end{cases}$

(i) Demuestre que $f$ es diferenciable en su dominio de definición y calcular $f'(0,0)$

(ii) Determinar el Gradiente en $P=(\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})$

(iii) Encontrar una dirección $\vec {v}$ cuya derivada direccional $\frac{\partial f}{\partial \vec {v} } $ en $P$ es $0$

Para (i) mi idea era, demostrar que su derivada parcial es continua:

$f'(x,y) = \frac{2 \sin^3(x) \cos^4(y) (2 (x^2+y^2) \cos(x)-x \sin(x))}{(x^2+y^2)^2} \approx \frac{2 x^3 y^4 (2 (x^2+y^2) x-x^2)}{(x^2+y^2)^2} $ para los pequeños $x$ y $y$ ¿es esto correcto? ¿Cómo seguir?

A (iii)

$ \langle \nabla f (\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}), \vec {v} \rangle = \langle \begin {pmatrix} -\frac{\pi}{2} \\ -\frac{\pi}{2} \end{pmatrix}, \begin {pmatrix} v_1 \\ v_2 \end{pmatrix} \rangle = -\frac{\pi}{2}(v_1+v_2)=0 \Rightarrow v_1=v_2$ Así que $\vec {v}=(1,1)^T$ sería una solución. ¿Es esto correcto?

Answer 1

Sobre la parte 1. Encuentra df/dx en (0,0) usando la definición de límites. En realidad usando la regla de L'Hoital puedes ver que esta derivada es 0 independientemente del valor de y. Para df/dy (0,0) es lo mismo.

sobre la parte 2. Encuentra las derivadas parciales en función de x e y y encuentra los valores funcionales en x=Pi/2, e y=Pi/2

sobre la parte 3. considerar cosW df/dx(Pi/2,Pi/2) + sinW df/dy(Pi/2, Pi/2) = 0 y encontrar el valor de W.