Dejemos que $f(z)=-(x^2+y^2)^{1/2}$ y $\Delta=\frac{\partial^2}{\partial x^2}+\frac{\partial^2}{\partial y^2}$ . Ayuda para confirmar cuál es el correcto para $\Delta f$ ; este o $(x^2+y^2)^{3/2}-\frac{2}{(x^2+y^2)^{1/2}}$ ?
Gracias. EDIT: perdón, quería decir arriba. Sólo un signo menos más.
Esta es una aplicación de la regla de la cadena.
$$\nabla^2\!f = \frac{\partial^2f}{\partial x^2} + \frac{\partial^2f}{\partial y^2} . $$
Si $f(x,y) = \sqrt{x^2+y^2}$ entonces las derivadas parciales de primer orden son:
$$\begin{array}{ccc} \frac{\partial\! f}{\partial x} &=& \frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}} \\ \frac{\partial\! f}{\partial y} &=& \frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}} \end{array}$$
Diferenciando una segunda vez, da:
$$\begin{array}{ccc} \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} &=& \frac{y^2}{(x^2+y^2)^{3/2}} \\ \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} &=& \frac{x^2}{(x^2+y^2)^{3/2}} \end{array}$$
Se deduce que el laplaciano viene dado por
$$\begin{array}{ccc} \nabla^2f &=& \frac{y^2}{(x^2+y^2)^{3/2}} + \frac{x^2}{(x^2+y^2)^{3/2}} \\ &=& \frac{x^2+y^2}{(x^2+y^2)^{3/2}} \\ &\equiv& \frac{1}{\sqrt{x^2+y^2}} \end{array}$$
Es más fácil aplicar el operador pasando a coordenadas polares. Si $g(r,\theta) = f(x,y) = f(r\cos(\theta), r \sin(\theta))$ entonces $$\Delta_{r,\theta} g = \dfrac1r \dfrac{\partial}{\partial r} \left(r \dfrac{\partial g}{\partial r}\right) + \dfrac1{r^2} \dfrac{\partial^2 g}{\partial \theta^2}$$ En su caso, $g(r,\theta) = r$ . Por lo tanto, $\dfrac{\partial g}{\partial r} = 1$ , $\dfrac{\partial g}{\partial \theta} = 0$ y $\dfrac{\partial}{\partial r} \left(r \dfrac{\partial g}{\partial r}\right) = 1$ . Por lo tanto, $$\Delta_{r,\theta} g = \dfrac1r \implies \Delta_{x,y} f = \dfrac1{\sqrt{x^2+y^2}}$$
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