Lagrangiano de Yang-Mills invariante bajo BRST

Question

En la ecuación 16.47 de Peskin & Schroeder, se afirma que $$ -\frac{1}{2}g^2f^{abc}f^{cde}\left(A_{\mu}\,^{b}c^{d}c^{e}+A_{\mu}\,^{d}c^{e}c^{b}+A_{\mu}\,^{e}c^{b}c^{d}\right) ~=~ 0 \tag{16.47}$$

utilizando la identidad de Jacobi $$ f^{ade}f^{bcd}+f^{bde}f^{cad}+f^{cde}f^{abd}~=~0, \tag{15.70}$$

donde $A$ es el campo gauge y $c$ es el campo fantasma de Grassmann.

Intentaba demostrar esta afirmación y no lo conseguí.

Esto es lo que he probado:

1) Escriba $ f^{abc}f^{cde}=-f^{dbc}f^{cea}-f^{ebc}f^{cad} $ utilizando la identidad de Jacobi dada.

2) Reetiquetando algunos índices y utilizando la anticonmutación de los campos fantasma soy capaz de reescribir la expresión como $$ +g^2f^{dbc}f^{cea}\left(A_{\mu}\,^{b}c^{d}c^{e}+A_{\mu}\,^{d}c^{e}c^{b}+A_{\mu}\,^{e}c^{b}c^{d}\right) $$

Ahora estoy atascado.

Answer 1

Pistas:

1. El lado izquierdo $$-\frac{1}{2}g^2f^{abc}f^{cde}\left(A_{\mu}^{b}c^{d}c^{e}+{\rm cycl}(b,d,e)\right)$$ de la ec. (16.47) puede reetiquetarse como $$-\frac{1}{2}g^2\left( f^{abc}f^{cde}+{\rm cycl}(b,d,e)\right)A_{\mu}^{b}c^{d}c^{e}.$$

2. P&S suponen que las constantes de estructura $f^{abc}$ son totalmente antisimétricas, véase el texto debajo de la ec. (15.79).