Ecuación de onda de una onda transversal de gran amplitud en una cuerda

Question

Según la ecuación de onda para 1-D que es $$\frac{\partial ^2y}{\partial x^2}-\frac{1}{v^2}\frac{\partial^2y}{\partial t^2}=0$$ que puede derivarse de $y(x,t)=f(x\pm vt)$ utilizando el cálculo.

Además, la ecuación de onda anterior también puede derivarse considerando las ondas transversales en una cuerda, utilizando la mecánica newtoniana y algunos ángulos pequeños aproximados .

Lo que me confunde es que si esa onda transversal tiene gran amplitud, los términos que se han cancelado con la aproximación quedarán en la ecuación y ésta no satisfará la ecuación de onda anterior, aunque la onda con gran amplitud también puede ser descrita por esta función ( $y(x,t)=f(x\pm vt)$ )

¿Podría alguien decirme el motivo? Muchas gracias.

Answer 1

Su suposición de que las ondas transversales de gran amplitud siguen satisfaciendo $y(x,t) = f(x\pm v t)$ no es correcta. Si hay términos no lineales adicionales o derivadas de orden superior en la ecuación diferencial debido a la ruptura del supuesto lineal, $F[y]$ entonces la ecuación diferencial es

$$\frac{\partial ^2y}{\partial x^2}-\frac{1}{v^2}\frac{\partial^2y}{\partial t^2} + F[y] =0$$ que, en general, no tendrán soluciones d'Alembertianas.

Una forma potencialmente relevante para $F[y]$ es $F[y] = \frac{\kappa}{2} \left( \frac{\partial y}{\partial x} \right)^2$ que he visto surgir en el contexto del modelado de sistemas elásticos. En términos de sistemas del mundo real, como las cuerdas de un piano, el acoplamiento a los modos longitudinales también puede ser relevante.