¿Tiene (Z, +) dos generadores pero infinitos conjuntos generadores?

Question

Decimos que el grupo de enteros bajo adición Z tiene sólo dos generadores, a saber, 1 y -1.

Sin embargo, Z también puede ser generado por cualquier conjunto de enteros "relativamente primos". (Números enteros que tienen gcd 1).

Tengo dos preguntas. No he podido encontrar una respuesta satisfactoria en ningún sitio.

1. Si un grupo está generado por un conjunto formado por un solo elemento, ¿sólo entonces es cíclico?

2. ¿Significa "generador" un único elemento generador?

3. ¿Es correcto decir que '(Z, +) tiene dos generadores pero infinitos conjuntos generadores'?

Gracias por su ayuda.

Answer 1

Tienes razón. $(\mathbb{Z},+)$ es un grupo cíclico con generador $(\{+1\})$ o $(\{-1\})$ Y tiene muchos subgrupos generadores. Tal vez sea importante notar que $(\mathbb{Z},+)$ es un grupo cíclico porque puede ser generado por un solo elemento.

Answer 2

La respuesta a todas tus preguntas es sí. Por definición, un grupo cíclico es un grupo generado por un solo elemento (o, en su defecto, por un subconjunto que contiene un solo elemento). Dicho elemento se denomina generador.

$(\mathbf{Z},+)$ tiene, por supuesto, infinitos subconjuntos generadores, aunque sólo sea porque cualquier subconjunto que contenga $1$ o $-1$ es generador, y por supuesto hay infinitos subconjuntos de este tipo. Sin embargo, hay subconjuntos generadores más interesantes, como los que contienen dos enteros relativamente primos.