Representación integral de los polinomios de Hermite

Question

Me gustaría pasar de la función generadora, $g(x,t)$ de los polinomios de Hermite $H_n(x)$ ,

$$ g(x,t) = e^{-t^2 + 2tx} = \sum_{n=0}^\infty H_n(x) \frac{t^n}{n!}$$

a la siguiente representación,

$$H_n(x) = \frac{n!}{2\pi i} e^{x^2} \oint \frac{e^{-z^2}}{(z+x)^{n+1}}\mathrm{d}z $$

donde el contorno encierra el punto $z=-x$ .

Sé que debo utilizar la fórmula integral de Cauchy, pero tengo problemas. ¿Puede alguien orientarme en la dirección correcta?

Answer 1

Con $g(x,t)$ que no tiene ningún polo finito (entero en $t$ ) la fórmula del coeficiente de Cauchy se aplica sin duda la fórmula del coeficiente de Cauchy. Obtenemos

$$H_n(x) = \frac{n!}{2\pi i} \int_{|t|=\epsilon} \frac{1}{t^{n+1}} \exp(-t^2+2tx) \; dt.$$

Esto es

$$ \frac{n!\times \exp(x^2)}{2\pi i} \int_{|t|=\epsilon} \frac{1}{t^{n+1}} \exp(-t^2+2tx-x^2) \; dt \\ = \frac{n!\times \exp(x^2)}{2\pi i} \int_{|t|=\epsilon} \frac{1}{t^{n+1}} \exp(-(t-x)^2) \; dt.$$

Con la sustitución $z=t-x$ tenemos $dz = dt$ y el radio del círculo pequeño se conserva, y damos una vuelta. Encontramos

$$\frac{n!\times \exp(x^2)}{2\pi i} \int_{|z+x|=\epsilon} \frac{1}{(z+x)^{n+1}} \exp(-z^2) \; dz$$

tal y como se reclama. Las referencias del CCF son Combinatoria analítica por Flajolet y Sedgewick, por ejemplo, páginas 246 y 732.