Es $x^6-3$ irreducible sobre $\mathbb{F}_7$ ?

Question

Sé que $\mathbb{F}_7=\mathbb{Z}_7$ y todas las soluciones posibles de $x^6-1=0$ en $\mathbb{Z}_7$ son 1~6, por lo que si dejamos que la raíz de la ecuación $x^6-3$ como $t $ entonces las soluciones de $x^6-3=0$ es $t$ ~ $6t$ lo que demuestra que todas las soluciones no están en $\mathbb{Z}_7$ . Sin embargo, no puedo decir que $x^6-3$ es irreducible por este hecho(ya que pueden existir polinomios de 2 o más grados que dividen $x^6-3$ .) ¿Es irreducible sobre $\mathbb{Z_7}$ ? ¿Por qué?

Answer 1

Supongamos que se tiene un polinomio irreducible $P$ de grado $d$ dividiendo su polinomio. Entonces, tomando $r$ para ser la clase de $X$ en el campo :

$$\mathbb{F}_{7^d}:=\frac{\mathbb{F}_7[X]}{(P)} $$

Sabemos que $r^6=3$ en este nuevo campo (ya que $P$ divide $X^6-3$ ). Por otro (porque conoces el teorema de Lagrange) tienes que :

$$r^{7^d-1}=1 $$

Ahora afirmo que ambas ecuaciones no son compatibles cuando $d=2$ o $3$ . Hagamos el caso $d=2$ . En ese caso tenemos $r^{48}=1$ y $r^6=3$ pero $48=6.8$ Así que..: $r^{48}=3^8=3$ mod $7$ que no es $1$ .

Y el caso $d=3$ $r^{342}=1$ y $r^6=3$ pero $342=6.57$ para que $r^{342}=3^{57}=3$ mod $7$ que no es $1$ .

Por lo tanto, no se puede tener un polinomio irreducible de grado $1$ , $2$ o $3$ dividiendo $X^6-3$ Esto significa que su polinomio es irreducible.

Answer 2

La misma pregunta aquí . Soy nuevo en este sitio. No sé cómo compartir el mismo enlace de la pregunta. (como un comentario o respuesta). Pero quiero informar a todos que hay la misma pregunta.

y esta fue mi respuesta en la otra pregunta: Quiero usar una herramienta fácil:

1) no es necesario comprobar $3$ es cuadrado de no en $\mathbb F_7$ . $x^6-1 \equiv 0 \mod 7$ para todos $x \in \mathbb F_7^*$ que es bien conocido.

2) Vuelve a utilizar el mismo truco $3^6 \equiv 1 \mod 7$ . Esto significa que $x^{36}\equiv 1 \mod 7$ . Ahora $36\mid(7^6-1)$ trivialmente, es $(7-1)(7^5+\cdots+1)$ . Además, $36 \not \mid (7^n-1)$ para $n <6$ . Esto significa que es irreductible.

Answer 3

Ya que puede obtener $7 | x^6-1$ para todo x por el Teorema de Fermat y $(x^6 -1 , x^6 -3) \leq 2$ por lo tanto, 7 no divide $ x^6 -3$ . Por lo tanto, es irreducible.