Valores propios negativos al calcular la escala multidimensional dada la matriz de distancia no negativa

Question

Estoy utilizando el Smile MDS
https://github.com/haifengl/smile/blob/master/core/src/main/java/smile/mds/MDS.java y de vez en cuando nos topamos con:

Caused by: java.lang.IllegalArgumentException: 
Some of the first 2 eigenvalues are < 0

Los datos que se envían son una matriz de distancia simétrica cuadrada. No he puesto ninguna restricción a los valores de la matriz de distancia excepto que deben ser no negativos - que, de hecho, están todos entre 0 y 1, ambos inclusive.

Así que dos preguntas:

• ¿en qué condiciones una matriz de este tipo (no negativa) puede dar lugar a valores propios negativos?
• ¿Cómo puedo condicionar la matriz de similitudes de entrada para evitar los valores negativos?
• (crédito extra): ¿hay otras bibliotecas JVM que puedan ayudar a tratar el conjunto de datos existente (arbitrario no negativo) tal como está?

Answer 1

MDS clásico funciona utilizando la matriz de distancia para calcular una matriz de producto interno (Gram) $G$ . $G$ contiene los productos de puntos entre cada par de puntos de datos, suponiendo que las distancias fueran euclidianas. A continuación, realiza una eigendecomposición de $G$ para incrustar puntos en un espacio vectorial de forma que se preserven los productos de punto lo mejor posible. $G$ puede tener valores propios negativos si las distancias originales no eran euclidianas. En algunos casos, esto puede estar bien. Pero, si hay muchos valores propios negativos, puede indicar que el MDS clásico no se ajusta bien al problema. En este caso, MDS no clásico (de los cuales hay múltiples formas) puede funcionar mejor. Como ha señalado Sycorax, la matriz de distancia debe tener ceros en la diagonal.