¿Qué valores pueden $\max(\alpha)$ y $\min(\alpha)$ ¿tomar?

Question

En $\{0,0.2,0.4,0.6,0.8,1\}$ -lógica valorativa, definir $\\f(\alpha)=\min\{\bar{v}(\alpha): v \text{ is some truth valuation on the atoms}\}$ . $g(\alpha)=\max\{\bar{v}(\alpha): v \text{ is some truth valuation on the atoms}\}$ .

Supongamos que las conectivas se evalúan como sigue: $\bar{v}(\alpha \wedge\beta) = \min\{\bar{v}(\alpha),\bar{v}(\beta)\}, \bar{v}(\alpha \vee\beta) = \max\{\bar{v}(\alpha),\bar{v}(\beta)\}, \bar{v}(\neg \alpha) = 1-\bar{v}(\alpha)$ .

Dado un wff $\alpha$ , supongamos que sólo contiene conectivos $\neg, \vee,\wedge$ ¿Cuáles son los posibles valores que $f(\alpha)$ y $g(\alpha)$ ?

Lo sé. $f$ puede tomar:

0 ( $A \wedge \neg A$ donde A=0), 0,6(por ejemplo, los posibles valores de verdad de $A\vee \neg A$ es 1, 0,8, 0,6, por lo que $f(A\vee \neg A)$ es el mínimo de los tres, que es 0,6).

$g$ puede tomar 1 ( $A\vee \neg A$ , A=1), 0.4 ( $A\wedge \neg A$ A=0,4 o 0,6).

De alguna manera la respuesta es que estos son todos los valores en los rangos de $f$ y $g$ . ¿Por qué?

Answer 1

Esta es una forma de demostrarlo. Primero, su lógica tiene la siguiente propiedad:

(i) Si una fórmula $\alpha$ toma valor $\le 0.4$ en algún lugar, entonces también toma valor $0$ en alguna parte.

¿Por qué es así? Para cualquier valoración $v$ Considere la valoración $v'$ definido a través de $v'(x)=\lfloor v(x)+0.5\rfloor\in\{0,1\}$ . En otras palabras, $v'$ hace $v$ en una valoración booleana estableciendo el punto de división en $0.5$ . Entonces, por inducción sobre las fórmulas, se puede demostrar que $v'(\alpha)=\lfloor v(\alpha)+0.5\rfloor$ . Por lo tanto, si $v(\alpha)\le 0.4$ entonces $v'(\alpha)=\lfloor v(\alpha)+0.5\rfloor\le\lfloor 0.9\rfloor=0$ .

De (i) se deduce que $f$ no puede tomar ningún valor en $\{0.2,0.4\}$ .

Con un argumento similar se puede demostrar que

(ii) Si una fórmula $\alpha$ toma valor $\ge 0.6$ en algún lugar, que también toma valor $0.6$ en alguna parte.

(pista: proyectar todos los valores de verdad $\ge 0.6$ a $0.6$ y todos los valores de verdad $\le 0.4$ a $0.4$ )

De (ii) se deduce que $f$ no puede tomar un valor en $\{0.8,1\}$ .

Por último, los posibles valores de $g$ puede deducirse de las observaciones anteriores, ya que $g(\alpha)=1-f(\lnot\alpha)$ . Por ejemplo $g$ no puede tomar valor $0.2$ como de lo contrario $f$ tendría que tomar valor $0.8$ en algún lugar, lo cual no es posible.