Asumiré que la frase "órbitas circulares alrededor de la otra" significa que estás buscando una solución en la que los dos cuerpos permanecen a una distancia constante.
Lo más fácil es trabajar en un sistema de coordenadas adaptado al centro de masa. La separación total entre las dos masas es $R = r_1 + r_2$ . El centro de masa se sitúa en $(R_0,0)$ donde $R_0 = (-m_1 r_1 + m2 r_2)/(m_1 + m_2)$ . Sin pérdida de generalidad, supondremos que el centro de masa permanece inmóvil (si no, podemos restar la velocidad del centro de masa de ambos cuerpos y utilizar el hecho de que los movimientos galileanos dejan invariante la mecánica).
Así que la distancia de $m_1$ al centro de masa es $|-r_1 - R_0| = R m_2 / (m_1 + m_2)$ de la misma manera, la distancia de $m_2$ al centro de masa será $R m_1/(m_1 + m_2)$ .
Ahora, escribamos las ecuaciones del movimiento.
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La suposición de que el centro de masa permanece inmóvil implica que el momento total es 0. Esto significa que $m_1 v_1 + m_2 v_2 = 0$ . Además, que $R$ es constante requiere que las velocidades iniciales sean tales que las dos masas comiencen moviéndose perpendicularmente a la $x$ eje. Por lo tanto, podemos suponer que $v_1, v_2$ son escalares, que representan la velocidad inicial en el $y$ para las masas, respectivamente.
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Respecto al centro de masa (inmóvil), la primera masa se desplaza en una órbita circular de radio $R m_2 / (m_1 + m_2)$ . Esto requiere fuerza $ m_1 v_1^2 / (R m_2 / (m_1 + m_2) ) = v_1^2 \cdot \frac{m_1 (m_1 + m_2)}{R m_2}$ . También tenemos una expresión similar para la fuerza que actúa sobre $m_2$ .
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La atracción gravitatoria entre las dos masas es $G m_1 m_2 / R^2$ .
Así que ahora resolvemos el sistema
$$ m_1 v_1 + m_2 v_2 = 0 $$ $$ \frac{G m_1 m_2}{R^2} = v_1^2 \frac{m_1 (m_1 + m_2)}{m_2 R} = v_2^2 \frac{m_2(m_1 + m_2)}{m_1R} $$
Lo que da
$$ v_1 = \sqrt{ \frac{G m_2^2}{R(m_1 + m_2)} }, v_2 = \sqrt{ \frac{G m_1^2}{R(m_1 + m_2)} }$$
